Suites numériques

Le cours

1. Définitions fondamentales\n\nSuite numérique : Une suite numérique est une fonction $u: \\mathbb{N} \\to \\mathbb{R}$ qui à tout entier naturel $n$ associe un réel $u_n$.\n\nSuite majorée/minorée/bornée :\n- $u$ est majorée s'il existe $M \\in \\mathbb{R}$ tel que $u_n \\leq M$ pour tout $n$.\n- $u$ est minorée s'il existe $m \\in \\mathbb{R}$ tel que $u_n \\geq m$ pour tout $n$.\n- $u$ est bornée si elle est à la fois majorée et minorée.\n\nSuite monotone :\n- $u$ est croissante si $u_{n+1} \\geq u_n$ pour tout $n$.\n- $u$ est décroissante si $u_{n+1} \\leq u_n$ pour tout $n$.\n\n## 2. Convergence et divergence\n\nSuite convergente : La suite $(u_n)$ converge vers un réel $l$ si pour tout $\\varepsilon > 0$, il existe $N \\in \\mathbb{N}$ tel que pour tout $n \\geq N$, $|u_n - l| < \\varepsilon$.\nNotation : $\\lim_{n\\to+\\infty} u_n = l$.\n\nSuite divergente : Une suite qui ne converge pas est divergente. Elle peut :\n- Tendre vers $+\\infty$ ou $-\\infty$\n- N'avoir pas de limite (comportement oscillant)\n\nUnicité de la limite : Si une suite converge, sa limite est unique.\n\nmathgraph\n{\n "type": "sequence",\n "title": "Suite convergente vers 2",\n "sequence": {\n "expression": "2 + 1/(n+1)",\n "nRange": [0, 20],\n "color": "#3b82f6",\n "label": "uₙ = 2 + 1/(n+1)",\n "pointSize": 4\n },\n "showGrid": true,\n "showAxes": true,\n "xLabel": "n",\n "yLabel": "uₙ",\n "horizontalLines": [\n { "y": 2, "color": "#ef4444", "lineStyle": "dashed", "label": "limite l=2" }\n ]\n}\n\n\n## 3. Théorèmes sur la convergence des suites monotones\n\nThéorème 1 : Toute suite croissante et majorée est convergente.\nThéorème 2 : Toute suite décroissante et minorée est convergente.\n\nCorollaires pour la divergence :\n- Toute suite croissante non majorée a pour limite $+\\infty$.\n- Toute suite décroissante non minorée a pour limite $-\\infty$.\n\n## 4. Suites arithmétiques et géométriques\n\n### 4.1. Suites arithmétiques\nDéfinition : $u_{n+1} = u_n + r$ où $r$ est la raison.\nTerme général : $u_n = u_0 + nr$\nSomme : $S_n = u_0 + u_1 + \\cdots + u_n = (n+1) \\times \\frac{u_0 + u_n}{2}$\n\n### 4.2. Suites géométriques\nDéfinition : $u_{n+1} = q \\times u_n$ où $q$ est la raison ($q \\neq 0$).\nTerme général : $u_n = u_0 \\times q^n$\nSomme ($q \\neq 1$) : $S_n = u_0 \\times \\frac{1 - q^{n+1}}{1 - q}$\n\nConvergence :\n- Si $|q| < 1$, $\\lim_{n\\to\\infty} q^n = 0$ et $\\lim_{n\\to\\infty} u_n = 0$ (si $u_0$ fini)\n- Si $q > 1$, $\\lim_{n\\to\\infty} q^n = +\\infty$\n- Si $q = 1$, $u_n = u_0$ constante\n- Si $q \\leq -1$, pas de limite (sauf $u_0=0$)\n\nmathgraph\n{\n "type": "sequence",\n "title": "Suites géométriques de différentes raisons",\n "sequence": {\n "expression": "(0.8)^n",\n "nRange": [0, 15],\n "color": "#3b82f6",\n "label": "q=0.8 (convergente)",\n "pointSize": 4\n },\n "showGrid": true,\n "showAxes": true,\n "xLabel": "n",\n "yLabel": "uₙ",\n "additionalSequences": [\n { "expression": "(1.2)^n", "color": "#ef4444", "label": "q=1.2 (divergente)" },\n { "expression": "1", "color": "#10b981", "label": "q=1 (constante)" }\n ]\n}\n\n\n## 5. Retour à la situation d'apprentissage\n\nOption 1 (intérêts simples) :\n$C_n = 300\\,000 + 2\\,500n$ (suite arithmétique)\n$C_7 = 300\\,000 + 2\\,500 \\times 7 = 317\\,500$ F CFA\n\nOption 2 (intérêts composés) :\n$C_n = 300\\,000 \\times (1,05)^n$ (suite géométrique)\n$C_7 = 300\\,000 \\times (1,05)^7 \\approx 300\\,000 \\times 1,4071 \\approx 422\\,130$ F CFA\n\nConclusion : L'option 2 est plus avantageuse dès le 7ème mois (422 130 F CFA > 400 000 F CFA).\n\n## 6. Suites définies par récurrence $u_{n+1} = f(u_n)$\n\nMéthode d'étude :\n1. Vérifier que $u_n$ reste dans le domaine de $f$\n2. Étudier les variations de $f$\n3. Étudier la monotonie de $(u_n)$\n4. Chercher un éventuel point fixe : $f(l) = l$\n5. Si $(u_n)$ converge, sa limite $l$ vérifie $f(l) = l$\n\nExemple : $u_0 = 1$, $u_{n+1} = \\sqrt{u_n + 2}$\n1. $f(x) = \\sqrt{x+2}$ définie pour $x \\geq -2$\n2. $f$ croissante sur $[-2, +\\infty[$\n3. $u_1 = \\sqrt{3} \\approx 1,732 > 1$, donc suite croissante (car $f$ croissante)\n4. Point fixe : $l = \\sqrt{l+2} \\Rightarrow l^2 = l+2 \\Rightarrow l^2-l-2=0$\n $\\Delta=9$, solutions $l=-1$ (à rejeter car $l\\geq0$) et $l=2$\n5. Suite croissante majorée par 2, donc convergente vers $l=2$\n\n## 7. Théorèmes de comparaison\n\nThéorème des gendarmes : Si $v_n \\leq u_n \\leq w_n$ à partir d'un certain rang et si $\\lim v_n = \\lim w_n = l$, alors $\\lim u_n = l$.\n\nComparaison avec une suite divergente :\n- Si $u_n \\geq v_n$ et $\\lim v_n = +\\infty$, alors $\\lim u_n = +\\infty$\n- Si $u_n \\leq v_n$ et $\\lim v_n = -\\infty$, alors $\\lim u_n = -\\infty$\n\nExemple : $u_n = \\frac{\\sin n}{n}$.\nOn a $-\\frac{1}{n} \\leq \\frac{\\sin n}{n} \\leq \\frac{1}{n}$ et $\\lim \\frac{1}{n} = 0$.\nDonc par le théorème des gendarmes, $\\lim u_n = 0$.\n\n## 8. Raisonnement par récurrence\n\nPrincipe : Pour démontrer qu'une propriété $P(n)$ est vraie pour tout $n \\in \\mathbb{N}$ :\n1. Initialisation : Vérifier $P(0)$ (ou $P(n_0)$)\n2. Hérédité : Supposer $P(k)$ vraie pour un $k$ fixé, et démontrer $P(k+1)$\n3. Conclusion : $P(n)$ vraie pour tout $n$\n\nExemple : Démontrer que $1 + 2 + \\cdots + n = \\frac{n(n+1)}{2}$.\n1. Pour $n=1$ : $1 = \\frac{1\\times2}{2} = 1$, vrai\n2. Supposons vrai au rang $k$ : $1+2+\\cdots+k = \\frac{k(k+1)}{2}$\n Alors $1+2+\\cdots+k+(k+1) = \\frac{k(k+1)}{2} + (k+1) = \\frac{k(k+1)+2(k+1)}{2} = \\frac{(k+1)(k+2)}{2}$\n Donc vrai au rang $k+1$\n3. La formule est vraie pour tout $n \\geq 1$\n\nmermaid\ngraph TD\n A[Étude d'une suite récurrente u_{n+1}=f(u_n)] --> B[1. Domaine de f];\n B --> C[2. Variations de f];\n C --> D[3. Monotonie de (u_n)];\n D --> E[4. Recherche point fixe f(l)=l];\n E --> F[5. Convergence];\n F --> G[Limite l];\n