Équations différentielles

Le cours

1. Définition d'une équation différentielle\n\nDéfinition : Une équation différentielle est une équation dont l'inconnue est une fonction $y$ d'une variable $x$, et qui fait intervenir $y$ et ses dérivées $y'$, $y''$, etc.\n\nExemples :\n1. $y' + 2y = 0$ (ordre 1)\n2. $y'' - 3y' + 2y = 0$ (ordre 2)\n3. $y' = x^2 + y$ (ordre 1)\n\nOrdre : L'ordre d'une équation différentielle est l'ordre de la dérivée la plus élevée qui y figure.\n\nSolution : Une fonction $f$ est solution d'une équation différentielle sur un intervalle $I$ si, en remplaçant $y$ par $f(x)$ et ses dérivées, l'égalité est vérifiée pour tout $x \\in I$.\n\n## 2. Équations $y' + ay = 0$ ($a$ constante)\n\nForme : $y' + ay = 0$ où $a \\in \\mathbb{R}$.\n\nSolutions : Les solutions sur $\\mathbb{R}$ sont les fonctions :\n$$f(x) = K e^{-ax} \\quad (K \\in \\mathbb{R})$$\n\nDémonstration : $y' + ay = 0 \\iff y' = -ay$\nC'est l'équation de la croissance/décroissance exponentielle.\n\nExemple : Résoudre $y' + 3y = 0$.\nSolutions : $f(x) = K e^{-3x}$, $K \\in \\mathbb{R}$.\n\n## 3. Équations $y' + ay = b$ ($a, b$ constantes, $a \\neq 0$)\n\nForme : $y' + ay = b$ où $a, b \\in \\mathbb{R}$, $a \\neq 0$.\n\nSolutions : Les solutions sur $\\mathbb{R}$ sont les fonctions :\n$$f(x) = K e^{-ax} + \\frac{b}{a} \\quad (K \\in \\mathbb{R})$$\n\nMéthode de résolution :\n1. Solution générale de l'équation homogène $y' + ay = 0$ : $f_h(x) = K e^{-ax}$\n2. Solution particulière constante : $f_p(x) = \\frac{b}{a}$ (car dérivée nulle)\n3. Solution générale : $f(x) = f_h(x) + f_p(x) = K e^{-ax} + \\frac{b}{a}$\n\nExemple : Résoudre $y' + 2y = 4$.\nSolution générale : $f(x) = K e^{-2x} + 2$.\n\n## 4. Retour à la situation bactérienne\n\nModélisation : L'accroissement (dérivée) proportionnel à la population signifie $P'(t) = k P(t)$, où $P(t)$ est le nombre de bactéries au temps $t$, et $k$ constante.\nDonc $P' - kP = 0$.\n\nDoublement en 4 heures : $P(4) = 2P(0) = 2\\times 1000 = 2000$.\n\nRésolution :\n1. Solution générale : $P(t) = C e^{kt}$ (forme $P' - kP = 0$)\n2. Condition initiale $P(0)=1000$ : $C e^{0} = 1000 \\Rightarrow C = 1000$\n Donc $P(t) = 1000 e^{kt}$\n3. Condition $P(4)=2000$ : $1000 e^{4k} = 2000 \\Rightarrow e^{4k} = 2$\n $4k = \\ln 2 \\Rightarrow k = \\frac{\\ln 2}{4} \\approx 0,1733$\n4. Solution : $P(t) = 1000 e^{0,1733 t}$\n5. Après 12 heures : $P(12) = 1000 e^{0,1733 \\times 12} = 1000 e^{2,0794} \\approx 1000 \\times 8 = 8000$ bactéries.\n\nmathgraph\n{\n "type": "function",\n "title": "Croissance exponentielle de bactéries P(t)=1000e^{kt}",\n "xRange": [0, 15],\n "yRange": [0, 10000],\n "functions": [\n { "expression": "1000*exp(0.1733*x)", "color": "#3b82f6", "name": "P(t)=1000e^{0.1733t}" }\n ],\n "showGrid": true,\n "showAxes": true,\n "xLabel": "Temps t (heures)",\n "yLabel": "Nombre de bactéries",\n "points": [\n { "x": 0, "y": 1000, "color": "#ef4444", "label": "P(0)=1000" },\n { "x": 4, "y": 2000, "color": "#10b981", "label": "P(4)=2000 (doublement)" },\n { "x": 12, "y": 8000, "color": "#f59e0b", "label": "P(12)=8000" }\n ]\n}\n\n\n## 5. Équations $y'' = 0$\n\nSolutions : Les solutions sur $\\mathbb{R}$ sont les fonctions affines :\n$$f(x) = ax + b \\quad (a, b \\in \\mathbb{R})$$\n\nDémonstration : $y'' = 0 \\Rightarrow y' = a$ (constante) $\\Rightarrow y = ax + b$.\n\nExemple : Résoudre $y'' = 0$ avec $f(0)=1$ et $f'(0)=2$.\nSolution générale : $f(x) = ax + b$\n$f(0)=b=1$ et $f'(0)=a=2$\nDonc $f(x)=2x+1$.\n\n## 6. Équations $y'' + \\omega^2 y = 0$ ($\\omega > 0$)\n\nSolutions : Les solutions sur $\\mathbb{R}$ sont :\n$$f(x) = A \\cos(\\omega x) + B \\sin(\\omega x) \\quad (A, B \\in \\mathbb{R})$$\n\nForme alternative : $f(x) = C \\cos(\\omega x + \\varphi)$ avec $C \\geq 0$, $\\varphi \\in \\mathbb{R}$.\n\nInterprétation : Mouvement harmonique simple (oscillateur).\n\nExemple : Résoudre $y'' + 4y = 0$.\n$\\omega^2 = 4 \\Rightarrow \\omega = 2$\nSolutions : $f(x) = A \\cos(2x) + B \\sin(2x)$.\n\n## 7. Équations $y'' - \\omega^2 y = 0$ ($\\omega > 0$)\n\nSolutions : Les solutions sur $\\mathbb{R}$ sont :\n$$f(x) = A e^{\\omega x} + B e^{-\\omega x} \\quad (A, B \\in \\mathbb{R})$$\n\nForme alternative : $f(x) = C \\cosh(\\omega x) + D \\sinh(\\omega x)$\n\nExemple : Résoudre $y'' - 9y = 0$.\n$\\omega^2 = 9 \\Rightarrow \\omega = 3$\nSolutions : $f(x) = A e^{3x} + B e^{-3x}$.\n\n## 8. Conditions initiales et unicité\n\nProblème de Cauchy : Trouver la solution d'une équation différentielle vérifiant des conditions initiales.\n\nExemple : Résoudre $y' + 2y = 4$ avec $y(0) = 1$.\n1. Solution générale : $y(x) = K e^{-2x} + 2$\n2. $y(0) = K e^{0} + 2 = K + 2 = 1 \\Rightarrow K = -1$\n3. Solution unique : $y(x) = -e^{-2x} + 2$\n\nmermaid\ngraph TD\n A[Équation différentielle] --> B{Déterminer le type};\n B --> C[y' + ay = 0];\n B --> D[y' + ay = b];\n B --> E[y'' = 0];\n B --> F[y'' + ω²y = 0];\n B --> G[y'' - ω²y = 0];\n C --> H[Solution: Ke^{-ax}];\n D --> I[Solution: Ke^{-ax} + b/a];\n E --> J[Solution: ax + b];\n F --> K[Solution: Acos(ωx) + Bsin(ωx)];\n G --> L[Solution: Ae^{ωx} + Be^{-ωx}];\n H --> M[Appliquer conditions initiales];\n I --> M;\n J --> M;\n K --> M;\n L --> M;\n M --> N[Solution unique];\n