Statistiques à deux variables

Le cours

1. Série statistique à deux variables\n\nDéfinition : On étudie simultanément deux caractères quantitatifs sur une même population. On obtient des couples de valeurs $(x_i, y_i)$ pour $i = 1, 2, ..., n$.\n\nExemple : Pour 6 années, on a :\n| Année | 2013 | 2014 | 2015 | 2016 | 2017 | 2018 |\n|-------|------|------|------|------|------|------|\n| Rang $x_i$ | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |\n| CA $y_i$ (M FCFA) | 99 | 130 | 92 | 108 | 232 | 150 |\n\nPoint moyen : Le point moyen du nuage a pour coordonnées $(\\bar{x}, \\bar{y})$ où :\n$$\\bar{x} = \\frac{1}{n} \\sum_{i=1}^n x_i \\quad \\text{et} \\quad \\bar{y} = \\frac{1}{n} \\sum_{i=1}^n y_i$$\n\n## 2. Représentation graphique : nuage de points\n\nOn place dans un repère les points $M_i(x_i, y_i)$. L'ensemble forme le nuage de points.\n\nmathgraph\n{\n "type": "points",\n "title": "Nuage de points : Chiffre d'affaires en fonction du rang",\n "xRange": [0, 7],\n "yRange": [80, 250],\n "points": [\n { "x": 1, "y": 99, "label": "2013", "color": "#3b82f6" },\n { "x": 2, "y": 130, "label": "2014", "color": "#3b82f6" },\n { "x": 3, "y": 92, "label": "2015", "color": "#3b82f6" },\n { "x": 4, "y": 108, "label": "2016", "color": "#3b82f6" },\n { "x": 5, "y": 232, "label": "2017", "color": "#3b82f6" },\n { "x": 6, "y": 150, "label": "2018", "color": "#3b82f6" }\n ],\n "showGrid": true,\n "showAxes": true,\n "xLabel": "Rang de l'année",\n "yLabel": "Chiffre d'affaires (M FCFA)",\n "meanPoint": { "x": 3.5, "y": 135.17, "color": "#ef4444", "label": "Point moyen G" }\n}\n\n\n## 3. Covariance\n\nDéfinition : La covariance de la série $(x_i, y_i)$ est :\n$$\\text{Cov}(x,y) = \\frac{1}{n} \\sum_{i=1}^n (x_i - \\bar{x})(y_i - \\bar{y})$$\n\nFormule pratique : $\\text{Cov}(x,y) = \\frac{1}{n} \\sum_{i=1}^n x_i y_i - \\bar{x}\\bar{y}$\n\nInterprétation :\n- Si $\\text{Cov} > 0$ : tendance à la croissance conjointe\n- Si $\\text{Cov} < 0$ : tendance à la décroissance conjointe\n- Si $\\text{Cov} \\approx 0$ : pas de liaison linéaire apparente\n\n## 4. Coefficient de corrélation linéaire\n\nDéfinition : Le coefficient de corrélation linéaire est :\n$$r = \\frac{\\text{Cov}(x,y)}{\\sigma_x \\sigma_y}$$\noù $\\sigma_x = \\sqrt{\\frac{1}{n}\\sum (x_i-\\bar{x})^2}$ et $\\sigma_y = \\sqrt{\\frac{1}{n}\\sum (y_i-\\bar{y})^2}$ sont les écarts-types.\n\nPropriétés : $-1 \\leq r \\leq 1$\n\nInterprétation :\n- $|r| \\approx 1$ : forte corrélation linéaire\n- $|r| \\approx 0$ : faible ou pas de corrélation linéaire\n- $r > 0$ : corrélation positive (croissance conjointe)\n- $r < 0$ : corrélation négative (l'un augmente, l'autre diminue)\n\n## 5. Ajustement affine par la méthode des moindres carrés\n\nPrincipe : Trouver la droite $y = ax + b$ qui "passe au plus près" des points du nuage, en minimisant la somme des carrés des distances verticales.\n\nCoefficients :\n$$a = \\frac{\\text{Cov}(x,y)}{\\sigma_x^2} = \\frac{\\text{Cov}(x,y)}{\\frac{1}{n}\\sum (x_i-\\bar{x})^2}$$\n$$b = \\bar{y} - a\\bar{x}$$\n\nDroite de régression : $y = ax + b$ est la droite de régression de $y$ en $x$.\n\n## 6. Application à la situation d'apprentissage\n\nDonnées : $n=6$, $\\bar{x} = 3.5$, $\\bar{y} = 135.167$\n\nCalculs :\n1. $\\sum x_i y_i = 1\\times99 + 2\\times130 + \\cdots + 6\\times150 = 3069$\n2. $\\text{Cov}(x,y) = \\frac{3069}{6} - 3.5 \\times 135.167 = 511.5 - 473.085 = 38.415$\n3. $\\sigma_x^2 = \\frac{1}{6}(1^2+2^2+3^2+4^2+5^2+6^2) - 3.5^2 = \\frac{91}{6} - 12.25 = 2.9167$\n4. $a = \\frac{38.415}{2.9167} \\approx 13.17$\n5. $b = 135.167 - 13.17 \\times 3.5 \\approx 135.167 - 46.095 = 89.072$\n\nDroite d'ajustement : $y = 13.17x + 89.07$\n\nPrévision pour 2030 : Rang pour 2030 : $2030-2012 = 18$\n$y_{2030} = 13.17 \\times 18 + 89.07 \\approx 236.06 + 89.07 = 325.13$ M FCFA\n\nmathgraph\n{\n "type": "points",\n "title": "Ajustement linéaire du chiffre d'affaires",\n "xRange": [0, 20],\n "yRange": [0, 350],\n "points": [\n { "x": 1, "y": 99, "color": "#3b82f6" },\n { "x": 2, "y": 130, "color": "#3b82f6" },\n { "x": 3, "y": 92, "color": "#3b82f6" },\n { "x": 4, "y": 108, "color": "#3b82f6" },\n { "x": 5, "y": 232, "color": "#3b82f6" },\n { "x": 6, "y": 150, "color": "#3b82f6" }\n ],\n "regressionLine": {\n "a": 13.17,\n "b": 89.07,\n "color": "#ef4444",\n "label": "y=13.17x+89.07"\n },\n "showGrid": true,\n "showAxes": true,\n "xLabel": "Rang de l'année",\n "yLabel": "Chiffre d'affaires (M FCFA)",\n "futurePoint": { "x": 18, "y": 325.13, "color": "#10b981", "label": "Prévision 2030" }\n}\n\n\n## 7. Validité d'un ajustement linéaire\n\nCoefficient de détermination : $r^2$ mesure la qualité de l'ajustement :\n- $r^2 \\approx 1$ : bon ajustement linéaire\n- $r^2 \\approx 0$ : mauvais ajustement linéaire\n\nDans notre exemple : Calculons $r$ :\n$\\sigma_y^2 = \\frac{1}{6}(99^2+130^2+92^2+108^2+232^2+150^2) - 135.167^2 \\approx 2782.81$\n$\\sigma_y \\approx 52.75$\n$\\sigma_x = \\sqrt{2.9167} \\approx 1.708$\n$r = \\frac{38.415}{1.708 \\times 52.75} \\approx 0.426$\n$r^2 \\approx 0.181$\n\nInterprétation : La corrélation linéaire est faible ($r^2=0.181$), donc la prévision pour 2030 est peu fiable. D'autres modèles (exponentiel, polynomial) seraient peut-être plus adaptés.\n\n## 8. Application économique en Côte d'Ivoire\n\nExemple : Étude de la relation entre investissement public et croissance du PIB dans différentes régions :\n\n| Région | Investissement (M FCFA) | Croissance PIB (%) |\n|--------|------------------------|-------------------|\n| Abidjan | 500 | 6.2 |\n| Yamoussoukro | 300 | 4.8 |\n| Bouaké | 250 | 4.1 |\n| San-Pédro | 180 | 3.5 |\n| Korhogo | 150 | 3.2 |\n\nOn peut chercher un ajustement linéaire pour prédire l'impact d'un investissement sur la croissance.\n\nmermaid\ngraph TD\n A[Données à deux variables] --> B[Nuage de points];\n B --> C[Calculer point moyen];\n C --> D[Calculer covariance];\n D --> E[Calculer coefficient r];\n E --> F{Ajustement linéaire justifié ?};\n F -->|Oui r² élevé| G[Droite des moindres carrés];\n F -->|Non r² faible| H[Chercher autre modèle];\n G --> I[Prévisions];\n H --> I;\n I --> J[Interprétation contextuelle];\n