Probabilité conditionnelle et variable aléatoire

Le cours

1. Probabilité conditionnelle\n\nDéfinition : Soit $A$ et $B$ deux événements avec $P(B) \\neq 0$. La probabilité conditionnelle de $A$ sachant $B$ est :\n$$P_B(A) = P(A|B) = \\frac{P(A \\cap B)}{P(B)}$$\n\nInterprétation : C'est la probabilité que $A$ se réalise, sachant que $B$ est réalisé.\n\nExemple : Dans l'urne de la situation, si on tire une boule rouge, quelle est la probabilité qu'elle porte le numéro 200 ?\n$P(\\text{numéro 200} | \\text{rouge}) = \\frac{1}{3}$ car parmi les 3 boules rouges, une seule a le numéro 200.\n\n## 2. Formule des probabilités totales\n\nSystème complet d'événements : Des événements $B_1, B_2, ..., B_n$ forment un système complet si :\n1. $B_i \\cap B_j = \\emptyset$ pour $i \\neq j$ (incompatibles deux à deux)\n2. $B_1 \\cup B_2 \\cup ... \\cup B_n = \\Omega$ (réunion = univers)\n\nFormule des probabilités totales : Si $B_1, B_2, ..., B_n$ forment un système complet avec $P(B_i) > 0$, alors pour tout $A$ :\n$$P(A) = \\sum_{i=1}^n P(B_i) \\times P_{B_i}(A)$$\n\nExemple : Soit deux usines U1 et U2 produisant des lampes. U1 produit 60% des lampes avec 2% de défauts, U2 produit 40% avec 1% de défauts. Probabilité qu'une lampe soit défectueuse ?\n$P(D) = P(U_1)P_{U_1}(D) + P(U_2)P_{U_2}(D) = 0.6 \\times 0.02 + 0.4 \\times 0.01 = 0.016$\n\n## 3. Événements indépendants\n\nDéfinition : Deux événements $A$ et $B$ sont indépendants si :\n$$P(A \\cap B) = P(A) \\times P(B)$$\n\nCaractérisation : Si $P(B) > 0$, $A$ et $B$ sont indépendants $\\iff P_B(A) = P(A)$.\n\nExemple : On lance un dé équilibré. $A$ = "obtenir un nombre pair", $B$ = "obtenir un multiple de 3".\n$P(A) = \\frac{3}{6} = \\frac{1}{2}$, $P(B) = \\frac{2}{6} = \\frac{1}{3}$, $P(A \\cap B) = P(\\{6\\}) = \\frac{1}{6}$\n$P(A) \\times P(B) = \\frac{1}{2} \\times \\frac{1}{3} = \\frac{1}{6}$, donc $A$ et $B$ sont indépendants.\n\n## 4. Variable aléatoire\n\nDéfinition : Une variable aléatoire $X$ est une fonction qui à chaque issue d'une expérience aléatoire associe un nombre réel.\n\nLoi de probabilité : C'est la donnée des valeurs $x_i$ prises par $X$ et des probabilités $p_i = P(X = x_i)$. On la présente généralement sous forme de tableau.\n\nExemple : Gain $X$ (en FCFA) dans le jeu de la kermesse.\n\n## 5. Espérance, variance, écart-type\n\nEspérance mathématique (moyenne) :\n$$E(X) = \\sum_{i=1}^n x_i \\times p_i$$\n\nVariance :\n$$V(X) = \\sum_{i=1}^n (x_i - E(X))^2 \\times p_i = E(X^2) - [E(X)]^2$$\n\nÉcart-type : $\\sigma(X) = \\sqrt{V(X)}$\n\nInterprétation :\n- $E(X)$ : gain moyen par partie sur un grand nombre de parties\n- $V(X)$ : mesure de la dispersion des valeurs autour de la moyenne\n- $\\sigma(X)$ : écart moyen à la moyenne\n\n## 6. Retour à la situation du jeu de kermesse\n\nAnalyse du jeu :\n- Urne : 3R (100,200,300) + 2N (2,5) = 5 boules\n- Tirage avec remise de 2 boules\n- Gain = produit des numéros si couleurs différentes, sinon perdu (gain = 0)\n\nCalcul des probabilités :\n1. Probabilité d'avoir deux boules de même couleur :\n $P(\\text{2 rouges}) = \\frac{3}{5} \\times \\frac{3}{5} = \\frac{9}{25}$\n $P(\\text{2 noires}) = \\frac{2}{5} \\times \\frac{2}{5} = \\frac{4}{25}$\n $P(\\text{même couleur}) = \\frac{9}{25} + \\frac{4}{25} = \\frac{13}{25} = 0.52$\n Donc $P(\\text{couleurs différentes}) = 1 - 0.52 = 0.48$\n\n2. Si couleurs différentes (R puis N ou N puis R), le gain est le produit des numéros.\n Tous les produits possibles :\n - R(100) avec N(2) ou N(5) : 200 ou 500\n - R(200) avec N(2) ou N(5) : 400 ou 1000\n - R(300) avec N(2) ou N(5) : 600 ou 1500\n Mêmes produits dans l'autre ordre.\n\n3. Probabilité de chaque produit (ordre important) :\n Chaque couple spécifique (ex: R100 puis N2) a probabilité $\\frac{1}{5} \\times \\frac{1}{5} = \\frac{1}{25}$\n Chaque produit apparaît dans 2 ordres possibles, donc probabilité $\\frac{2}{25}$ pour chaque produit.\n\nmathgraph\n{\n "type": "histogram",\n "title": "Loi de probabilité du gain X (si couleurs différentes)",\n "bins": [\n { "value": 200, "frequency": 2, "label": "200 FCFA", "color": "#3b82f6" },\n { "value": 400, "frequency": 2, "label": "400 FCFA", "color": "#ef4444" },\n { "value": 500, "frequency": 2, "label": "500 FCFA", "color": "#10b981" },\n { "value": 600, "frequency": 2, "label": "600 FCFA", "color": "#f59e0b" },\n { "value": 1000, "frequency": 2, "label": "1000 FCFA", "color": "#8b5cf6" },\n { "value": 1500, "frequency": 2, "label": "1500 FCFA", "color": "#ec4899" }\n ],\n "showGrid": true,\n "showAxes": true,\n "xLabel": "Gain X (FCFA)",\n "yLabel": "Nombre de cas favorables (sur 25)",\n "total": 25\n}\n\n\n## 7. Loi binomiale\n\nÉpreuve de Bernoulli : Expérience aléatoire à deux issues : succès (probabilité $p$) et échec (probabilité $1-p$).\n\nSchéma de Bernoulli : Répétition de $n$ épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes.\n\nLoi binomiale : La variable $X$ comptant le nombre de succès suit la loi binomiale $B(n, p)$ :\n$$P(X = k) = C_n^k \\, p^k (1-p)^{n-k} \\quad \\text{pour } k = 0, 1, ..., n$$\n\nParamètres :\n- $E(X) = np$\n- $V(X) = np(1-p)$\n- $\\sigma(X) = \\sqrt{np(1-p)}$\n\nExemple : On lance 10 fois une pièce équilibrée ($p=0.5$). Probabilité d'avoir exactement 4 faces :\n$P(X=4) = C_{10}^4 (0.5)^4 (0.5)^6 = 210 \\times \\frac{1}{16} \\times \\frac{1}{64} = \\frac{210}{1024} \\approx 0.205$\n\n## 8. Résolution complète du problème du jeu\n\nVariable aléatoire : $X$ = gain du joueur (en FCFA)\n\nLoi de probabilité complète :\n- $P(X=0) = \\frac{13}{25} = 0.52$ (même couleur)\n- Pour chaque produit $g$, $P(X=g) = \\frac{2}{25} = 0.08$\n\nEspérance du gain :\n$E(X) = 0 \\times 0.52 + 200 \\times 0.08 + 400 \\times 0.08 + 500 \\times 0.08 + 600 \\times 0.08 + 1000 \\times 0.08 + 1500 \\times 0.08$\n$E(X) = 0 + 16 + 32 + 40 + 48 + 80 + 120 = 336$ FCFA\n\nInterprétation : Sur un grand nombre de parties, le joueur gagne en moyenne 336 FCFA par partie.\n\nMise minimale pour que le stand soit gagnant :\nSi le joueur mise $m$ FCFA, le gain net du stand est $m - X$.\nLe stand est gagnant en moyenne si $E(m - X) > 0 \\iff m > E(X) = 336$ FCFA.\n\nDonc la mise minimale doit être supérieure à 336 FCFA.\n\nmermaid\ngraph TD\n A[Jeu aléatoire] --> B[Définir variable aléatoire X];\n B --> C[Calculer loi de probabilité];\n C --> D[Calculer espérance E(X)];\n D --> E[Analyse économique];\n E --> F[Pour être gagnant];\n F --> G[m > E(X)];\n G --> H[Mise minimale = 336 FCFA];\n