Primitives

Le cours

1. Définition et propriétés\n\nDéfinition : $F$ primitive de $f$ sur $I$ si $F'(x)=f(x)$ pour tout $x\\in I$.\n\nThéorème : Si $F$ primitive de $f$, alors toutes les primitives sont $F+C$ ($C$ constante).\nNotation : $\\int f(x)\\,dx = F(x)+C$.\n\nCondition initiale : Pour $(x_0,y_0)$, il existe une unique primitive $F$ telle que $F(x_0)=y_0$.\n\n## 2. Tableau des primitives de référence\n\n| $f(x)$ | $F(x)$ ($+C$) | Intervalle |\n| :--- | :--- | :--- |\n| $a$ (constante) | $ax$ | $\\mathbb{R}$ |\n| $x^n$ ($n\\neq-1$) | $\\frac{x^{n+1}}{n+1}$ | selon $n$ |\n| $\\frac{1}{x}$ | $\\ln\\lvert x\\rvert$ | $]0,+\\infty[ \\text{ ou } ]-\\infty,0[$ |\n| $e^x$ | $e^x$ | $\\mathbb{R}$ |\n| $\\cos x$ | $\\sin x$ | $\\mathbb{R}$ |\n| $\\sin x$ | $-\\cos x$ | $\\mathbb{R}$ |\n| $\\frac{1}{\\cos^2 x}$ | $\\tan x$ | $]-\\frac{\\pi}{2}+k\\pi,\\frac{\\pi}{2}+k\\pi[$ |\n\n## 3. Linéarité\n\n$\\int (f+g) = \\int f + \\int g$\n$\\int (\\lambda f) = \\lambda \\int f$\n\nExemple : $\\int(3x^2-2x+5)dx = x^3-x^2+5x+C$.\n\n## 4. Primitives de fonctions composées $u'\\times f(u)$\n\n| Forme | Primitive | Condition |\n| :--- | :--- | :--- |\n| $u'(x)e^{u(x)}$ | $e^{u(x)}$ | |\n| $\\frac{u'(x)}{u(x)}$ | $\\ln\\lvert u(x)\\rvert$ | $u(x)\\neq0$ |\n| $u'(x)[u(x)]^m$ ($m\\neq-1$) | $\\frac{[u(x)]^{m+1}}{m+1}$ | |\n| $u'(x)\\cos(u(x))$ | $\\sin(u(x))$ | |\n| $u'(x)\\sin(u(x))$ | $-\\cos(u(x))$ | |\n\nExemple 1 : $\\int2x e^{x^2+1}dx = e^{x^2+1}+C$.\n\nExemple 2 : $\\int\\frac{3x^2}{x^3-4}dx = \\ln\\lvert x^3-4\\rvert+C$.\n\nmathgraph\n{\n "type": "function",\n "title": "Primitives de f(x)=2x (famille de paraboles)",\n "xRange": [-2, 2],\n "yRange": [-2, 4],\n "functions": [\n { "expression": "x^2", "color": "#3b82f6", "name": "F(x)=x²" },\n { "expression": "x^2+1", "color": "#ef4444", "name": "F(x)=x²+1" },\n { "expression": "x^2-1", "color": "#10b981", "name": "F(x)=x²-1" },\n { "expression": "2*x", "color": "#f59e0b", "name": "f(x)=2x", "lineStyle": "dashed" }\n ],\n "showGrid": true,\n "showAxes": true,\n "xLabel": "x",\n "yLabel": "y"\n}\n\n\n## 5. Retour à la situation de l'ascenseur\n\nDonnées : $a(t)=0.5$ m/s² constante, $v(0)=0$, $h(0)=0$.\n\nÉtapes :\n1. $v'(t)=0.5 \\Rightarrow v(t)=0.5t+C_1$\n $v(0)=0 \\Rightarrow C_1=0 \\Rightarrow v(t)=0.5t$\n2. $h'(t)=v(t)=0.5t \\Rightarrow h(t)=0.25t^2+C_2$\n $h(0)=0 \\Rightarrow C_2=0 \\Rightarrow h(t)=0.25t^2$\n\nmathgraph\n{\n "type": "function",\n "title": "Mouvement de l'ascenseur : accélération → vitesse → position",\n "xRange": [0, 5],\n "yRange": [0, 8],\n "functions": [\n { "expression": "0.5", "color": "#ef4444", "name": "a(t)=0.5" },\n { "expression": "0.5*x", "color": "#10b981", "name": "v(t)=0.5t" },\n { "expression": "0.25*x^2", "color": "#3b82f6", "name": "h(t)=0.25t²" }\n ],\n "showGrid": true,\n "showAxes": true,\n "xLabel": "Temps t (s)",\n "yLabel": "Valeur",\n "legend": true\n}\n\n\n## 6. Primitives et trigonométrie\n\nLinéarisation : Utiliser formules d'Euler.\n\nExemple : $\\int\\cos^2 x \\, dx$.\n$\\cos^2 x=\\frac{1+\\cos2x}{2}$\n$\\int\\cos^2 x \\, dx = \\int\\frac{1}{2}dx + \\frac{1}{2}\\int\\cos2x \\, dx = \\frac{x}{2}+\\frac{\\sin2x}{4}+C$\n\n## 7. Vérification d'une primitive\n\nPour vérifier que $F$ est primitive de $f$, dériver $F$ et vérifier $F'=f$.\n\nExemple : $F(x)=x\\ln x-x$, $f(x)=\\ln x$.\n$F'(x)=\\ln x+1-1=\\ln x=f(x)$. OK.\n\n## 8. Application démographique ivoirienne\n\nModèle : Taux croissance $f(t)=\\frac{5000}{t+10}$ (hab/an). $P'(t)=f(t)$.\n\nRésolution :\n1. $P(t)=5000\\ln(t+10)+C$\n2. $P(0)=5000 \\Rightarrow C=5000(1-\\ln10)$\n3. $P(t)=5000\\left[\\ln\\left(\\frac{t+10}{10}\\right)+1\\right]$\n\nmermaid\ngraph LR\n A[Problème physique/biologie] --> B[Équation f'(t)=...];\n B --> C[Chercher primitive];\n C --> D[Utiliser condition initiale];\n D --> E[Solution unique];\n E --> F[Interprétation contextuelle];\n