Nombres complexes et géométrie du plan

Le cours

1. Écriture complexe des transformations\n\n### 1.1. Translation\nTranslation de vecteur $\\vec{u}$ d'affixe $b$ :\n$$z' = z + b$$\n\n### 1.2. Symétrie centrale\nSymétrie de centre $\\Omega$ d'affixe $\omega$ :\n$$z' = 2\omega - z$$\n\n### 1.3. Symétrie orthogonale\nPar rapport à l'axe des abscisses : $z' = \\overline{z}$\nPar rapport à l'axe des ordonnées : $z' = -\\overline{z}$\n\n### 1.4. Homothétie\nHomothétie de centre $\\Omega(\omega)$ et de rapport $k\\in\\mathbb{R}^*$ :\n$$z' = \\omega + k(z - \omega) = kz + (1-k)\omega$$\n\n### 1.5. Rotation\nRotation de centre $\\Omega(\omega)$ et d'angle $\\theta$ :\n$$z' = \\omega + e^{i\\theta}(z - \omega)$$\n\nCas particulier : Rotation de centre O et d'angle $\\theta$ : $z' = e^{i\\theta}z$\n\n### 1.6. Similitude directe\nSimilitude directe de centre $\\Omega(\omega)$, de rapport $k>0$ et d'angle $\\theta$ :\n$$z' = \\omega + k e^{i\\theta}(z - \omega)$$\n\nUne similitude directe est une transformation qui conserve les angles orientés et multiplie les distances par $k$.\n\n## 2. Caractérisations complexes des configurations géométriques\n\n### 2.1. Points alignés\nThéorème : $A(z_A)$, $B(z_B)$, $C(z_C)$ sont alignés $\\iff \\frac{z_C - z_A}{z_B - z_A} \\in \\mathbb{R}$\n\n### 2.2. Triangle rectangle\nTriangle $ABC$ rectangle en $A$ $\\iff \\frac{z_C - z_A}{z_B - z_A} \\in i\\mathbb{R}$ (imaginaire pur)\n\n### 2.3. Triangle équilatéral\nTriangle $ABC$ équilatéral direct $\\iff \\frac{z_C - z_A}{z_B - z_A} = e^{i\\pi/3}$\nTriangle $ABC$ équilatéral indirect $\\iff \\frac{z_C - z_A}{z_B - z_A} = e^{-i\\pi/3}$\n\n### 2.4. Points cocycliques\nThéorème : $A$, $B$, $C$, $D$ sont cocycliques ou alignés $\\iff \\frac{(z_A - z_C)(z_B - z_D)}{(z_A - z_D)(z_B - z_C)} \\in \\mathbb{R}$\n\n### 2.5. Droites parallèles\n$(AB) \\parallel (CD)$ $\\iff \\frac{z_B - z_A}{z_D - z_C} \\in \\mathbb{R}$\n\n### 2.6. Droites perpendiculaires\n$(AB) \\perp (CD)$ $\\iff \\frac{z_B - z_A}{z_D - z_C} \\in i\\mathbb{R}$\n\nmathgraph\n{\n "type": "points",\n "title": "Configurations géométriques et nombres complexes",\n "xRange": [-1, 5],\n "yRange": [-1, 5],\n "points": [\n { "x": 0, "y": 0, "label": "A(0)", "color": "#3b82f6" },\n { "x": 3, "y": 0, "label": "B(3)", "color": "#ef4444" },\n { "x": 0, "y": 3, "label": "C(3i)", "color": "#10b981" },\n { "x": 2, "y": 2, "label": "D(2+2i)", "color": "#f59e0b" }\n ],\n "vectors": [\n { "from": [0, 0], "to": [3, 0], "color": "#3b82f6", "label": "AB" },\n { "from": [0, 0], "to": [0, 3], "color": "#10b981", "label": "AC" },\n { "from": [0, 0], "to": [2, 2], "color": "#f59e0b", "label": "AD" }\n ],\n "showGrid": true,\n "showAxes": true,\n "xLabel": "Re(z)",\n "yLabel": "Im(z)",\n "angles": [\n { "center": [0, 0], "start": [3, 0], "end": [0, 3], "label": "90°", "color": "#8b5cf6" }\n ]\n}\n\n\n## 3. Application à la situation d'apprentissage\n\nConfiguration : Carré $ABCD$, $P$ sur $[BC]$, $N$ image de $P$ par rotation de centre $A$ d'angle $\\pi/2$, $M$ milieu de $[PN]$.\n\nChoix du repère : Prenons $A=0$, $B=1$, $D=i$. Alors $C=1+i$ (carré de côté 1).\n\nAffixes :\n- $A: 0$\n- $B: 1$\n- $C: 1+i$\n- $D: i$\n\nPoint $P$ sur $[BC]$ : $P$ varie entre $B$ et $C$.\nÉquation paramétrique de $[BC]$ : $z_P = 1 + ti$, $t \\in [0, 1]$\n- Pour $t=0$ : $P=B$ ($z_P=1$)\n- Pour $t=1$ : $P=C$ ($z_P=1+i$)\n\nPoint $N$ : Rotation de centre $A(0)$ d'angle $\\pi/2$ : $z' = e^{i\\pi/2} z = i z$\nDonc $z_N = i \\cdot z_P = i(1+ti) = i + ti^2 = i - t$\nSoit $z_N = -t + i$, avec $t \\in [0, 1]$\n\nLieu de $N$ : $z_N = -t + i$ où $t \\in [0, 1]$\nC'est le segment $[D'C']$ où $D'=-1+i$ (pour $t=1$) et $C'=0+i=i$ (pour $t=0$).\nMais attention : $t=0 \\Rightarrow z_N=i=D$, $t=1 \\Rightarrow z_N=-1+i$.\nEn fait, $N$ décrit le segment $[D' D]$ où $D'=-1+i$ et $D=i$.\n\nPoint $M$ milieu de $[PN]$ :\n$z_M = \\frac{z_P + z_N}{2} = \\frac{(1+ti) + (-t+i)}{2} = \\frac{1-t + i(1+t)}{2}$\nSoit $z_M = \\frac{1-t}{2} + i\\frac{1+t}{2}$, avec $t \\in [0, 1]$\n\nLieu de $M$ : Notons $x=\\frac{1-t}{2}$, $y=\\frac{1+t}{2}$\nOn a $x+y = \\frac{1-t}{2} + \\frac{1+t}{2} = 1$\nEt $y-x = \\frac{1+t}{2} - \\frac{1-t}{2} = t$\nComme $t \\in [0, 1]$, $x=\\frac{1-t}{2} \\in [0, 0.5]$ et $y=\\frac{1+t}{2} \\in [0.5, 1]$\nLe lieu de $M$ est le segment d'extrémités :\n- Pour $t=0$ : $M_0(0.5, 0.5)$\n- Pour $t=1$ : $M_1(0, 1)$\n\nÉquation : $x+y=1$ avec $0 \\leq x \\leq 0.5$, $0.5 \\leq y \\leq 1$\nC'est un segment de la droite d'équation $x+y=1$.\n\nmathgraph\n{\n "type": "points",\n "title": "Lieux géométriques de N et M",\n "xRange": [-1.5, 2],\n "yRange": [-0.5, 2],\n "points": [\n { "x": 0, "y": 0, "label": "A", "color": "#3b82f6" },\n { "x": 1, "y": 0, "label": "B", "color": "#ef4444" },\n { "x": 1, "y": 1, "label": "C", "color": "#10b981" },\n { "x": 0, "y": 1, "label": "D", "color": "#f59e0b" }\n ],\n "segments": [\n { "from": [0, 0], "to": [1, 0], "color": "#6b7280", "label": "AB" },\n { "from": [1, 0], "to": [1, 1], "color": "#6b7280", "label": "BC" },\n { "from": [1, 1], "to": [0, 1], "color": "#6b7280", "label": "CD" },\n { "from": [0, 1], "to": [0, 0], "color": "#6b7280", "label": "DA" },\n { "from": [-1, 1], "to": [0, 1], "color": "#3b82f6", "lineStyle": "dashed", "label": "Lieu de N" },\n { "from": [0.5, 0.5], "to": [0, 1], "color": "#ef4444", "lineStyle": "dashed", "label": "Lieu de M" }\n ],\n "showGrid": true,\n "showAxes": true,\n "xLabel": "Re(z)",\n "yLabel": "Im(z)",\n "lines": [\n { "equation": "1-x", "color": "#ef4444", "lineStyle": "dashed", "xRange": [0, 0.5], "label": "x+y=1" }\n ]\n}\n\n\n## 4. Détermination d'équations complexes de droites et cercles\n\n### 4.1. Droite\nDroite passant par $A(z_A)$ et dirigée par $\\vec{u}(d)$ ($d \\neq 0$) :\n$$z = z_A + t d, \\quad t \\in \\mathbb{R}$$\n\nDroite passant par $A$ et $B$ : $z = z_A + t(z_B - z_A)$, $t \\in \\mathbb{R}$\n\n### 4.2. Cercle\nCercle de centre $\\Omega(\omega)$ et de rayon $R$ :\n$$|z - \omega| = R$$\n\nÉquation complexe d'un cercle : $z\\overline{z} + a\overline{z} + \\overline{a}z + b = 0$ où $a \\in \\mathbb{C}$, $b \\in \\mathbb{R}$, avec $|a|^2 > b$\nCentre : $-a$, Rayon : $\\sqrt{|a|^2 - b}$\n\n## 5. Application à la résolution de problèmes géométriques\n\nExemple : Soit $A(1)$, $B(i)$, $C(-1)$, $D(-i)$ (carré). Montrer que $ABCD$ est un carré.\n\nSolution :\n1. $AB = |i-1| = \\sqrt{(-1)^2+1^2} = \\sqrt{2}$\n2. $BC = |-1-i| = \\sqrt{(-1)^2+(-1)^2} = \\sqrt{2}$\n3. $CD = |-i+1| = \\sqrt{1^2+(-1)^2} = \\sqrt{2}$\n4. $DA = |1+i| = \\sqrt{1^2+1^2} = \\sqrt{2}$\n Donc quadrilatère équilatéral.\n5. $\\frac{z_B-z_A}{z_D-z_A} = \\frac{i-1}{-i-1} = \\frac{i-1}{-(1+i)} = \\frac{-(1-i)}{1+i}$\n Multiplions numérateur et dénominateur par $(1-i)$ : $\\frac{-(1-i)^2}{1^2+1^2} = \\frac{-(1-2i+i^2)}{2} = \\frac{-( -2i)}{2} = i$\n Ce rapport est imaginaire pur, donc $(AB) \\perp (AD)$.\n6. De même, on montre les autres angles droits.\nDonc $ABCD$ est un carré.\n\n## 6. Lieux géométriques classiques\n\n### 6.1. Médiatrice\nMédiatrice de $[AB]$ : $|z - z_A| = |z - z_B|$\n\n### 6.2. Cercle de diamètre $[AB]$\nCercle de diamètre $[AB]$ : $\\arg\\left(\\frac{z-z_A}{z-z_B}\\right) = \\pm\\frac{\\pi}{2} [\\pi]$\nOu : $(z-z_A)(\\overline{z}-\\overline{z_B}) + (z-z_B)(\\overline{z}-\\overline{z_A}) = 0$\n\n### 6.3. Bissectrice\nBissectrice de l'angle $(\\overrightarrow{AB}, \\overrightarrow{AC})$ : $\\arg\\left(\\frac{z-z_A}{z_B-z_A}\\right) = \\arg\\left(\\frac{z-z_A}{z_C-z_A}\\right) [\\pi]$\n\nmermaid\ngraph TD\n A[Problème géométrique] --> B[Choisir repère complexe];\n B --> C[Traduire données en affixes];\n C --> D[Utiliser écritures complexes des transformations];\n D --> E[Appliquer caractérisations complexes];\n E --> F[Obtenir équations];\n F --> G[Résoudre/Simplifier];\n G --> H[Interpréter géométriquement];\n