Nombres complexes

Le cours

1. Introduction à l'ensemble ℂ\n\nL'équation $x^2 + 1 = 0$ n'a pas de solution dans l'ensemble des nombres réels $\\mathbb{R}$. Pour pallier cette limitation, on définit un nouvel ensemble noté $\\mathbb{C}$, appelé ensemble des nombres complexes.\n\nOn introduit un nombre imaginaire pur, noté $i$, tel que :\n$$i^2 = -1$$\n\nDéfinition : Un nombre complexe $z$ s'écrit de manière unique sous la forme :\n$$z = a + ib$$\noù $a$ et $b$ sont des nombres réels.\n- $a$ est la partie réelle de $z$, notée $\\text{Re}(z)$ ou $\\Re(z)$.\n- $b$ est la partie imaginaire de $z$, notée $\\text{Im}(z)$ ou $\\Im(z)$.\n\n## 2. Le plan complexe\n\nÀ tout nombre complexe $z = a + ib$, on associe un unique point $M$ du plan muni d'un repère orthonormé $(O, \\vec{u}, \\vec{v})$, de coordonnées $(a, b)$.\n- $M$ est l'image de $z$.\n- $z$ est l'affixe du point $M$ (ou du vecteur $\\overrightarrow{OM}$).\n- L'axe des abscisses est l'axe des réels.\n- L'axe des ordonnées est l'axe des imaginaires purs.\n\nmathgraph\n{\n "type": "points",\n "title": "Représentation de nombres complexes dans le plan",\n "xRange": [-3, 5],\n "yRange": [-3, 5],\n "points": [\n { "x": 2, "y": 3, "label": "z₁=2+3i", "color": "#3b82f6" },\n { "x": -1, "y": 2, "label": "z₂=-1+2i", "color": "#ef4444" },\n { "x": 3, "y": -2, "label": "z₃=3-2i", "color": "#10b981" },\n { "x": 0, "y": 4, "label": "z₄=4i", "color": "#f59e0b" }\n ],\n "showGrid": true,\n "showAxes": true,\n "xLabel": "Axe réel",\n "yLabel": "Axe imaginaire",\n "originLabel": "O"\n}\n\n\n## 3. Conjugué et module\n\nDéfinition du conjugué : Le conjugué du nombre complexe $z = a + ib$ est :\n$$\\overline{z} = a - ib$$\n\nDéfinition du module : Le module du nombre complexe $z = a + ib$ est :\n$$|z| = \\sqrt{a^2 + b^2}$$\nGéométriquement, $|z|$ est la distance $OM$.\n\n## 4. Forme trigonométrique et exponentielle\n\nSoit $z = a + ib$ un complexe non nul, et $M$ son image.\n\nArgument : On appelle argument de $z$, noté $\\text{arg}(z)$, toute mesure en radians de l'angle orienté $(\\vec{u}, \\overrightarrow{OM})$.\n$$\\text{arg}(z) = \\theta \\; [2\\pi] \\; \\text{ tel que } \\begin{cases} a = |z| \\cos \\theta \\\\ b = |z| \\sin \\theta \\end{cases}$$\n\nForme trigonométrique :\n$$z = |z| (\\cos \\theta + i \\sin \\theta) \\quad \\text{avec } \\theta = \\text{arg}(z)$$\n\nForme exponentielle (notation d'Euler) :\n$$z = |z| e^{i\\theta} \\quad \\text{avec } \\theta = \\text{arg}(z)$$\n\nmathgraph\n{\n "type": "function",\n "title": "Cercle trigonométrique et représentation d'un complexe",\n "xRange": [-1.5, 1.5],\n "yRange": [-1.5, 1.5],\n "functions": [\n { \n "expression": "sqrt(1-x^2)", \n "color": "#6b7280", \n "name": "Cercle unité",\n "lineStyle": "dashed"\n },\n { \n "expression": "-sqrt(1-x^2)", \n "color": "#6b7280", \n "name": "",\n "lineStyle": "dashed"\n }\n ],\n "points": [\n { "x": 0.707, "y": 0.707, "label": "z=√2/2 + i√2/2", "color": "#3b82f6" }\n ],\n "vectors": [\n { "from": [0, 0], "to": [0.707, 0.707], "color": "#3b82f6", "label": "|z|=1" }\n ],\n "showGrid": true,\n "showAxes": true,\n "xLabel": "Re(z)",\n "yLabel": "Im(z)",\n "angles": [\n { "center": [0, 0], "start": [1, 0], "end": [0.707, 0.707], "label": "θ=π/4", "color": "#10b981" }\n ]\n}\n\n\n## 5. Racines n-ièmes de l'unité\n\nLes solutions de $z^n = 1$ sont les racines n-ièmes de l'unité :\n$$\\mathcal{U}_n = \\left\\{ e^{i\\frac{2k\\pi}{n}} \\, \\middle| \\, k = 0, 1, ..., n-1 \\right\\}$$\n\nElles se situent sur le cercle trigonométrique et forment un polygone régulier à $n$ côtés.\n\nmathgraph\n{\n "type": "points",\n "title": "Racines 5èmes de l'unité",\n "xRange": [-1.5, 1.5],\n "yRange": [-1.5, 1.5],\n "points": [\n { "x": 1, "y": 0, "label": "k=0", "color": "#3b82f6" },\n { "x": 0.309, "y": 0.951, "label": "k=1", "color": "#ef4444" },\n { "x": -0.809, "y": 0.588, "label": "k=2", "color": "#10b981" },\n { "x": -0.809, "y": -0.588, "label": "k=3", "color": "#f59e0b" },\n { "x": 0.309, "y": -0.951, "label": "k=4", "color": "#8b5cf6" }\n ],\n "showGrid": true,\n "showAxes": true,\n "xLabel": "Re(z)",\n "yLabel": "Im(z)",\n "circle": { "center": [0, 0], "radius": 1, "color": "#6b7280", "lineStyle": "dashed" }\n}\n\n\n## 6. Applications géométriques\n\nLes nombres complexes permettent de caractériser des configurations géométriques :\n\n| Configuration | Caractérisation complexe |\n| :--- | :--- |\n| Points alignés | $\\frac{z_C - z_A}{z_B - z_A} \\in \\mathbb{R}$ |\n| Triangle rectangle en $A$ | $\\frac{z_C - z_A}{z_B - z_A} \\in i\\mathbb{R}$ |\n| Triangle équilatéral | $\\frac{z_C - z_A}{z_B - z_A} = e^{i\\frac{\\pi}{3}}$ ou $e^{-i\\frac{\\pi}{3}}$ |\n| Points cocycliques | $\\frac{(z_A - z_C)(z_B - z_D)}{(z_A - z_D)(z_B - z_C)} \\in \\mathbb{R}$ |\n\n## 7. Résolution d'équations du second degré\n\nPour l'équation $az^2 + bz + c = 0$ avec $a \\neq 0$ :\n1. Calculer $\\Delta = b^2 - 4ac$\n2. Si $\\Delta \\neq 0$, trouver ses racines carrées complexes $\\delta_1$ et $\\delta_2 = -\\delta_1$\n3. Solutions : $z_1 = \\frac{-b + \\delta_1}{2a}$ et $z_2 = \\frac{-b + \\delta_2}{2a}$\n\n## 8. Formules de Moivre et d'Euler\n\nFormule de Moivre : Pour tout $\\theta \\in \\mathbb{R}$ et $n \\in \\mathbb{Z}$,\n$$(\\cos \\theta + i \\sin \\theta)^n = \\cos(n\\theta) + i \\sin(n\\theta)$$\n\nFormules d'Euler : Pour tout $\\theta \\in \\mathbb{R}$,\n$$\\cos \\theta = \\frac{e^{i\\theta} + e^{-i\\theta}}{2} \\quad \\text{et} \\quad \\sin \\theta = \\frac{e^{i\\theta} - e^{-i\\theta}}{2i}$$\n\nCes formules permettent la linéarisation des expressions trigonométriques.