Limites et continuité d'une fonction

Le cours

1. Notion de limite\n\nDéfinition intuitive : $f$ a pour limite $l$ quand $x$ tend vers $a$ si $f(x)$ se rapproche de $l$ autant qu'on veut, pour $x$ suffisamment proche de $a$.\n$$\\lim_{x \\to a} f(x) = l$$\n\nLimites de référence :\n1. $\\lim_{x \\to +\\infty} \\frac{1}{x} = 0$\n2. $\\lim_{x \\to 0} \\frac{\\sin x}{x} = 1$\n3. $\\lim_{x \\to +\\infty} e^x = +\\infty$\n4. $\\lim_{x \\to +\\infty} \\ln x = +\\infty$\n\n## 2. Calculs de limites et formes indéterminées\n\nFormes indéterminées (F.I.) : $+\\infty - \\infty$, $0 \\times \\infty$, $\\frac{\\infty}{\\infty}$, $\\frac{0}{0}$.\n\nTechniques :\n1. Factorisation par le terme dominant\n2. Expression conjuguée\n3. Utilisation du nombre dérivé\n4. Théorème de comparaison (gendarmes)\n\nmathgraph\n{\n "type": "function",\n "title": "Limite en 0 de sin(x)/x",\n "xRange": [-2, 2],\n "yRange": [-0.5, 1.5],\n "functions": [\n { "expression": "sin(x)/x", "color": "#3b82f6", "name": "f(x)=sin(x)/x" },\n { "expression": "1", "color": "#ef4444", "name": "y=1", "lineStyle": "dashed" }\n ],\n "points": [\n { "x": 0, "y": 1, "color": "#10b981", "label": "limite=1" }\n ],\n "showGrid": true,\n "showAxes": true,\n "xLabel": "x",\n "yLabel": "f(x)",\n "asymptotes": [\n { "type": "horizontal", "value": 1, "color": "#ef4444" }\n ]\n}\n\n\n## 3. Branches infinies et paraboliques\n\nAsymptote horizontale : Si $\\lim_{x \\to +\\infty} f(x) = l$, droite $y=l$ asymptote.\n\nBranche parabolique :\n- Si $\\lim_{x \\to +\\infty} \\frac{f(x)}{x} = 0$, direction (Ox)\n- Si $\\lim_{x \\to +\\infty} \\frac{f(x)}{x} = \\pm\\infty$, direction (Oy)\n\nmathgraph\n{\n "type": "function",\n "title": "Branche parabolique de direction (Oy)",\n "xRange": [0, 10],\n "yRange": [0, 100],\n "functions": [\n { "expression": "x^2", "color": "#3b82f6", "name": "f(x)=x²" }\n ],\n "showGrid": true,\n "showAxes": true,\n "xLabel": "x",\n "yLabel": "f(x)"\n}\n\n\n## 4. Continuité\n\nDéfinition : $f$ est continue en $a$ si $\\lim_{x \\to a} f(x) = f(a)$.\n\nProlongement par continuité : Si $\\lim_{x \\to a} f(x) = l$ existe mais $f(a)$ n'est pas défini, on définit $\\tilde{f}(a)=l$.\n\nExemple : $q(x)=\\frac{\\sin x}{x}$ se prolonge en 0 par $\\tilde{q}(0)=1$.\n\n## 5. Théorème des valeurs intermédiaires (TVI)\n\nThéorème : Soit $f$ continue sur $[a, b]$. Pour tout $k$ entre $f(a)$ et $f(b)$, il existe $c \\in [a, b]$ tel que $f(c)=k$.\n\nCas particulier : Si $f(a) \\times f(b) < 0$, alors $f(x)=0$ a au moins une solution dans $]a, b[$.\n\nmermaid\ngraph TD\n A[f continue sur [a,b]] --> B[TVI applicable];\n B --> C[Pour k entre f(a) et f(b)];\n C --> D[∃ c ∈ [a,b] / f(c)=k];\n E[f(a)×f(b) < 0] --> F[∃ solution à f(x)=0];\n\n\n## 6. Fonctions continues strictement monotones\n\nThéorème : Si $f$ est continue et strictement monotone sur $I$, alors :\n1. $f$ bijective de $I$ sur $J=f(I)$\n2. $f^{-1}$ continue et même sens de variation\n3. $\\forall m \\in J$, $f(x)=m$ a une unique solution dans $I$\n\n## 7. Méthodes d'approximation\n\nDichotomie :\n1. Soit $[a, b]$ avec $f(a)f(b) < 0$\n2. $m = \\frac{a+b}{2}$\n3. Si $f(a)f(m) < 0$, nouvelle borne $b=m$\n4. Sinon, nouvelle borne $a=m$\n5. Répéter jusqu'à précision souhaitée\n\nmermaid\ngraph TD\n A[Départ [a,b]] --> B[Calcul m=(a+b)/2];\n B --> C{Test f(a)×f(m) < 0 ?};\n C -->|Oui| D[Nouvel intervalle [a,m]];\n C -->|Non| E[Nouvel intervalle [m,b]];\n D --> F{Précision atteinte ?};\n E --> F;\n F -->|Non| B;\n F -->|Oui| G[Solution ≈ m];\n\n\n## 8. Application contextuelle\n\nExemple ivoirien : Le débit du Bandama à Bouaké est modélisé par $D(t)=\\frac{t^2+3t}{t+1}$ ($t$ en jours).\n1. $\\lim_{t \\to 1} D(t)=2$ ⇒ prolongement en $t=1$\n2. $\\lim_{t \\to +\\infty} D(t)=1$ ⇒ asymptote $y=1$\n3. $f(t)=D(t)-2$ continue sur $[0,4]$ avec $f(0)=-2$, $f(4)>0$ ⇒ $f(t)=0$ a solution.