Fonctions logarithmes

Le cours

1. Définition de la fonction $\\ln$\n\nDéfinition (intégrale) : $\\ln x = \\int_1^x \\frac{1}{t} \\, dt$ pour $x>0$.\n\nConséquences :\n1. $\\ln 1 = 0$\n2. $\\ln' x = \\frac{1}{x} > 0$ ⇒ $\\ln$ strictement croissante\n3. $\\ln$ continue sur $]0,+\\infty[$\n\n## 2. Propriétés algébriques fondamentales\n\nPour $a,b>0$, $n\\in\\mathbb{R}$ :\n1. $\\ln(ab) = \\ln a + \\ln b$\n2. $\\ln\\left(\\frac{1}{a}\\right) = -\\ln a$\n3. $\\ln\\left(\\frac{a}{b}\\right) = \\ln a - \\ln b$\n4. $\\ln(a^n) = n \\, \\ln a$\n\nExemple : $\\ln 8 - 2\\ln 2 = \\ln 8 - \\ln 4 = \\ln 2$.\n\n## 3. Limites et croissance comparée\n\nLimites de référence :\n1. $\\lim_{x\\to0^+}\\ln x = -\\infty$\n2. $\\lim_{x\\to+\\infty}\\ln x = +\\infty$\n3. $\\lim_{x\\to+\\infty}\\frac{\\ln x}{x} = 0$ (croissance comparée)\n\nConséquence : $\\ln x$ croît beaucoup plus lentement que toute puissance $x^\\alpha$ ($\\alpha>0$).\n\nmathgraph\n{\n "type": "function",\n "title": "Croissance comparée : ln(x) vs x",\n "xRange": [0, 10],\n "yRange": [-2, 10],\n "functions": [\n { "expression": "ln(x)", "color": "#3b82f6", "name": "ln(x)" },\n { "expression": "x", "color": "#ef4444", "name": "x" },\n { "expression": "sqrt(x)", "color": "#10b981", "name": "√x" }\n ],\n "showGrid": true,\n "showAxes": true,\n "xLabel": "x",\n "yLabel": "y",\n "legend": true\n}\n\n\n## 4. Représentation graphique\n\nmathgraph\n{\n "type": "function",\n "title": "Fonction logarithme népérien",\n "xRange": [0, 5],\n "yRange": [-3, 2],\n "functions": [\n { "expression": "ln(x)", "color": "#3b82f6", "name": "ln(x)" }\n ],\n "showGrid": true,\n "showAxes": true,\n "xLabel": "x",\n "yLabel": "ln(x)",\n "points": [\n { "x": 1, "y": 0, "color": "#ef4444", "label": "(1,0)" },\n { "x": 2.718, "y": 1, "color": "#10b981", "label": "(e,1)" }\n ],\n "asymptotes": [\n { "type": "vertical", "value": 0, "color": "#6b7280", "lineStyle": "dashed" }\n ]\n}\n\n\n## 5. Résolution d'équations/inéquations\n\nÉquation $\\ln u(x) = \\ln v(x)$ : Équivaut à $u(x)=v(x)>0$.\n\nInéquation $\\ln u(x) \\geq \\ln v(x)$ :\n- Si base > 1 (cas $\\ln$), même sens : $u(x) \\geq v(x) > 0$.\n\nExemple : Résoudre $\\ln(2x-1) = 3$.\n$2x-1 = e^3 \\Rightarrow x = \\frac{e^3+1}{2}$.\n\n## 6. Application à la situation de dépistage\n\nProblème : Trouver $n$ minimum tel que $1-0.325^n > 0.98$.\n\nRésolution avec $\\ln$ :\n$1-0.325^n > 0.98 \\iff 0.325^n < 0.02$\n$\\ln(0.325^n) < \\ln(0.02)$\n$n \\, \\ln(0.325) < \\ln(0.02)$\nAttention : $\\ln(0.325) < 0$, donc inverser l'inégalité :\n$n > \\frac{\\ln(0.02)}{\\ln(0.325)}$\nCalcul : $\\ln(0.02)\\approx-3.912$, $\\ln(0.325)\\approx-1.124$\n$n > \\frac{-3.912}{-1.124}\\approx3.48$\nDonc $n_{min}=4$ élèves.\n\n## 7. Dérivées et primitives avec $\\ln$\n\nDérivée : Si $u>0$ dérivable,\n- $(\\ln u)' = \\frac{u'}{u}$\n- $(\\ln|u|)' = \\frac{u'}{u}$ (si $u\\neq0$)\n\nPrimitive : $\\int \\frac{u'}{u} \\, dx = \\ln|u| + C$\n\nExemple : Dériver $f(x)=\\ln(x^2+1)$.\n$f'(x)=\\frac{2x}{x^2+1}$.\n\n## 8. Autres logarithmes\n\nLogarithme décimal : $\\log_{10} x = \\frac{\\ln x}{\\ln 10}$, noté $\\log x$.\n\nLogarithme base $a$ : $\\log_a x = \\frac{\\ln x}{\\ln a}$, $a>0$, $a\\neq1$.\n\nRelation : $\\ln x = \\ln a \\times \\log_a x$.\n\nmermaid\ngraph TD\n A[Problème exponentiel a^n < b] --> B[Prendre ln des deux côtés];\n B --> C{n\\ln a < \\ln b};\n C --> D{ln a < 0 ?};\n D -->|Oui| E[Inverser inégalité: n > ln b / ln a];\n D -->|Non| F[Garder sens: n < ln b / ln a];\n E --> G[Arrondir à l'entier supérieur];\n F --> G;\n