Fonctions exponentielles et fonctions puissances

Le cours

1. Définition de la fonction exponentielle népérienne\n\nDéfinition : La fonction exponentielle népérienne, notée $\\exp$ ou $x \\mapsto e^x$, est la bijection réciproque de la fonction logarithme népérien.\n\nPour tout $x \\in \\mathbb{R}$, $\\exp(x)$ est l'unique réel $y > 0$ tel que :\n$$\\ln y = x \\quad \\text{soit} \\quad y = e^x$$\n\nNotation : On note $e^x$ pour $\\exp(x)$, où $e \\approx 2,71828$ est le nombre tel que $\\ln e = 1$.\n\nConséquences immédiates :\n1. $e^0 = 1$\n2. $e^1 = e$\n3. $\\ln(e^x) = x$ pour tout $x \\in \\mathbb{R}$\n4. $e^{\\ln x} = x$ pour tout $x > 0$\n\n## 2. Propriétés algébriques fondamentales\n\nPour tous réels $a$ et $b$ :\n1. Produit : $e^{a+b} = e^a \\times e^b$\n2. Inverse : $e^{-a} = \\frac{1}{e^a}$\n3. Quotient : $e^{a-b} = \\frac{e^a}{e^b}$\n4. Puissance : $(e^a)^b = e^{ab}$\n\nPreuve : Ces propriétés se déduisent des propriétés du logarithme.\nPar exemple : $\\ln(e^{a+b}) = a+b = \\ln(e^a) + \\ln(e^b) = \\ln(e^a \\times e^b)$\nDonc $e^{a+b} = e^a \\times e^b$ (car $\\ln$ est bijective).\n\nExemple : Simplifier $A = \\frac{e^{3x} \\times e^{-x}}{e^{2x}}$.\n$A = e^{3x - x - 2x} = e^0 = 1$.\n\n## 3. Dérivée et variations\n\nDérivée : La fonction exponentielle est dérivable sur $\\mathbb{R}$ et :\n$$\\exp'(x) = \\exp(x)$$\n\nPreuve : $\\exp$ est la réciproque de $\\ln$, et $\\ln'(x) = \\frac{1}{x} \\neq 0$ sur $]0,+\\infty[$.\nD'après le théorème sur la dérivée d'une bijection réciproque :\n$\\exp'(x) = \\frac{1}{\\ln'(\\exp(x))} = \\frac{1}{1/\\exp(x)} = \\exp(x)$.\n\nVariations : Comme $\\exp'(x) = e^x > 0$ pour tout $x$, la fonction exponentielle est strictement croissante sur $\\mathbb{R}$.\n\nmathgraph\n{\n "type": "function",\n "title": "Fonction exponentielle népérienne et sa dérivée",\n "xRange": [-3, 3],\n "yRange": [-1, 10],\n "functions": [\n { "expression": "exp(x)", "color": "#3b82f6", "name": "f(x)=e^x" },\n { "expression": "exp(x)", "color": "#ef4444", "name": "f'(x)=e^x" }\n ],\n "showGrid": true,\n "showAxes": true,\n "xLabel": "x",\n "yLabel": "y",\n "points": [\n { "x": 0, "y": 1, "color": "#10b981", "label": "(0,1)" },\n { "x": 1, "y": 2.718, "color": "#f59e0b", "label": "(1,e)" }\n ],\n "legend": true\n}\n\n\n## 4. Limites de référence et croissance comparée\n\nLimites en l'infini :\n1. $\\lim_{x \\to +\\infty} e^x = +\\infty$\n2. $\\lim_{x \\to -\\infty} e^x = 0$\n\nConséquence : L'axe des abscisses ($y=0$) est asymptote horizontale à la courbe en $-\\infty$.\n\nCroissance comparée : Pour tout $n \\in \\mathbb{N}^*$,\n$$\\lim_{x \\to +\\infty} \\frac{e^x}{x^n} = +\\infty \\quad \\text{et} \\quad \\lim_{x \\to -\\infty} x^n e^x = 0$$\n\nInterprétation : La fonction exponentielle croît beaucoup plus vite que toute puissance de $x$ en $+\\infty$.\n\nExemple : $\\lim_{x \\to +\\infty} \\frac{e^x}{x^3} = +\\infty$, $\\lim_{x \\to +\\infty} \\frac{x^{10}}{e^x} = 0$.\n\nmathgraph\n{\n "type": "function",\n "title": "Croissance comparée : e^x vs x² vs x",\n "xRange": [0, 4],\n "yRange": [0, 30],\n "functions": [\n { "expression": "exp(x)", "color": "#3b82f6", "name": "e^x" },\n { "expression": "x^2", "color": "#ef4444", "name": "x²" },\n { "expression": "x", "color": "#10b981", "name": "x" }\n ],\n "showGrid": true,\n "showAxes": true,\n "xLabel": "x",\n "yLabel": "y",\n "legend": true\n}\n\n\n## 5. Fonctions exponentielles de base $a$ ($a>0$, $a\\neq1$)\n\nDéfinition : Pour $a>0$ et $a\\neq1$, la fonction exponentielle de base $a$ est définie par :\n$$a^x = e^{x \\ln a}$$\n\nCas particuliers :\n- Si $a>1$ : $\\ln a > 0$, fonction strictement croissante\n- Si $0<a<1$ : $\\ln a < 0$, fonction strictement décroissante\n\nPropriétés : Mêmes propriétés algébriques que pour $e^x$ :\n- $a^{x+y} = a^x \\times a^y$\n- $a^{-x} = \\frac{1}{a^x}$\n- $(a^x)^y = a^{xy}$\n- $a^x \\times b^x = (ab)^x$\n\nDérivée : $(a^x)' = (\\ln a) \\times a^x$\n\nmathgraph\n{\n "type": "function",\n "title": "Fonctions exponentielles de base a",\n "xRange": [-2, 3],\n "yRange": [-1, 10],\n "functions": [\n { "expression": "2^x", "color": "#3b82f6", "name": "2^x (a>1)" },\n { "expression": "(0.5)^x", "color": "#ef4444", "name": "(0.5)^x (0<a<1)" }\n ],\n "showGrid": true,\n "showAxes": true,\n "xLabel": "x",\n "yLabel": "y",\n "points": [\n { "x": 0, "y": 1, "color": "#10b981", "label": "(0,1) pour toutes" }\n ],\n "legend": true\n}\n\n\n## 6. Fonctions puissances $x^\\alpha$ ($\\alpha \\in \\mathbb{R}^*$)\n\nDéfinition : Pour $x>0$ et $\\alpha \\in \\mathbb{R}^*$, on définit :\n$$x^\\alpha = e^{\\alpha \\ln x}$$\n\nCas particuliers :\n- Si $\\alpha>0$ : fonction strictement croissante sur $]0,+\\infty[$\n- Si $\\alpha<0$ : fonction strictement décroissante sur $]0,+\\infty[$\n- Si $\\alpha=0$ : fonction constante $x^0=1$ (par convention pour $x>0$)\n\nDérivée : Pour $x>0$, $(x^\\alpha)' = \\alpha x^{\\alpha-1}$\n\nExemples :\n- $\\sqrt{x} = x^{1/2}$\n- $\\frac{1}{x} = x^{-1}$\n- $\\frac{1}{\\sqrt{x}} = x^{-1/2}$\n- $\\sqrt[3]{x^2} = x^{2/3}$\n\nmathgraph\n{\n "type": "function",\n "title": "Fonctions puissances x^α",\n "xRange": [0, 2],\n "yRange": [0, 3],\n "functions": [\n { "expression": "x^2", "color": "#3b82f6", "name": "x² (α=2>0)" },\n { "expression": "sqrt(x)", "color": "#ef4444", "name": "√x (α=0.5>0)" },\n { "expression": "1/x", "color": "#10b981", "name": "1/x (α=-1<0)" }\n ],\n "showGrid": true,\n "showAxes": true,\n "xLabel": "x",\n "yLabel": "y",\n "legend": true\n}\n\n\n## 7. Retour à la situation d'apprentissage : pharmacocinétique\n\nDonnées : $M(t) = 50 \\times e^{-0,75t}$\n\nÉtude complète :\n1. Domaine : $t \\geq 0$ (temps)\n2. Dérivée : $M'(t) = 50 \\times (-0,75) e^{-0,75t} = -37,5 e^{-0,75t}$\n3. Signe de la dérivée : $M'(t) < 0$ pour tout $t > 0$\n ⇒ $M$ strictement décroissante (le médicament s'élimine)\n4. Limites :\n - $\\lim_{t \\to 0^+} M(t) = 50$ mg (dose initiale)\n - $\\lim_{t \\to +\\infty} M(t) = 0$ (élimination complète à long terme)\n5. Demi-vie : Temps $t_{1/2}$ tel que $M(t_{1/2}) = \\frac{50}{2} = 25$ mg\n $25 = 50 e^{-0,75 t_{1/2}} \\Rightarrow e^{-0,75 t_{1/2}} = 0,5$\n Prendre $\\ln$ : $-0,75 t_{1/2} = \\ln(0,5)$\n $t_{1/2} = -\\frac{\\ln(0,5)}{0,75} = \\frac{\\ln 2}{0,75} \\approx \\frac{0,6931}{0,75} \\approx 0,924$ heure $\\approx 55$ minutes\n\nmathgraph\n{\n "type": "function",\n "title": "Élimination du médicament : M(t)=50e^{-0,75t}",\n "xRange": [0, 5],\n "yRange": [0, 55],\n "functions": [\n { "expression": "50*exp(-0.75*x)", "color": "#3b82f6", "name": "Masse M(t) en mg" }\n ],\n "showGrid": true,\n "showAxes": true,\n "xLabel": "Temps t (heures)",\n "yLabel": "Masse M (mg)",\n "points": [\n { "x": 0, "y": 50, "color": "#ef4444", "label": "Dose initiale: 50 mg" },\n { "x": 0.924, "y": 25, "color": "#10b981", "label": "Demi-vie: 55 min" }\n ],\n "asymptotes": [\n { "type": "horizontal", "value": 0, "color": "#6b7280", "lineStyle": "dashed", "label": "Asymptote y=0" }\n ]\n}\n\n\n## 8. Résolution d'équations et inéquations exponentielles\n\nMéthode générale : Utiliser le logarithme pour "faire descendre" l'exposant.\n\nÉquation $a^{u(x)} = b$ ($a>0$, $a\\neq1$, $b>0$) :\n$$a^{u(x)} = b \\iff u(x) = \\log_a b = \\frac{\\ln b}{\\ln a}$$\n\nInéquation $a^{u(x)} \\geq b$ :\n- Si $a>1$ : $a^{u(x)} \\geq b \\iff u(x) \\geq \\log_a b$ (même sens)\n- Si $0<a<1$ : $a^{u(x)} \\geq b \\iff u(x) \\leq \\log_a b$ (sens inverse)\n\nExemple 1 : Résoudre $3^{2x-1} \\geq 9$.\n$3^{2x-1} \\geq 3^2$\nComme $3>1$, l'inégalité garde le même sens : $2x-1 \\geq 2$\n$2x \\geq 3 \\Rightarrow x \\geq \\frac{3}{2}$\nSolution : $S = \\left[\\frac{3}{2}, +\\infty\\right[$\n\nExemple 2 : Résoudre $0,5^{x^2} < 0,125$.\n$0,5^{x^2} < 0,5^3$\nComme $0<0,5<1$, l'inégalité change de sens : $x^2 > 3$\n$x < -\\sqrt{3}$ ou $x > \\sqrt{3}$\nSolution : $S = ]-\\infty, -\\sqrt{3}[ \\cup ]\\sqrt{3}, +\\infty[$\n\nmermaid\ngraph TD\n A[Équation a^{u(x)} = b] --> B{b > 0 ?};\n B -->|Non| C[Pas de solution];\n B -->|Oui| D[Prendre ln des deux côtés];\n D --> E[u(x) \\ln a = \\ln b];\n E --> F[u(x) = ln b / ln a];\n F --> G[Résoudre u(x) = k];\n \n H[Inéquation a^{u(x)} ≥ b] --> I{a > 1 ?};\n I -->|Oui| J[Prendre ln : u(x) \\ln a ≥ \\ln b];\n I -->|Non 0<a<1| K[Prendre ln : u(x) \\ln a ≤ \\ln b];\n J --> L[Sens conservé : u(x) ≥ ln b / ln a];\n K --> M[Sens inversé : u(x) ≤ ln b / ln a];\n L --> N[Résoudre inéquation];\n M --> N;\n