Dérivabilité et étude de fonctions

Le cours

1. Dérivabilité avancée\n\nDérivabilité à gauche/droite :\n- $f'_g(a)=\\lim_{x\\to a^-}\\frac{f(x)-f(a)}{x-a}$\n- $f'_d(a)=\\lim_{x\\to a^+}\\frac{f(x)-f(a)}{x-a}$\n\n$f$ dérivable en $a$ $\\iff$ $f'_g(a)=f'_d(a)$ finies.\n\nPoint d'inflexion : Point où la courbe traverse sa tangente. Si $f''$ s'annule en changeant de signe en $a$, alors point d'inflexion.\n\n## 2. Dérivées successives\n\nNotations : $f''$, $f^{(n)}$, $\\frac{d^2f}{dx^2}$, $\\frac{d^nf}{dx^n}$.\n\n## 3. Dérivée d'une fonction composée\n\n$(f \\circ u)'(x) = u'(x) \\times f'(u(x))$\n\nApplications :\n1. $(u^n)' = n u' u^{n-1}$\n2. $(\\sqrt{u})' = \\frac{u'}{2\\sqrt{u}}$\n3. $(u^r)' = r u' u^{r-1}$ ($r\\in\\mathbb{Q}$)\n\nmathgraph\n{\n "type": "function",\n "title": "Fonction et sa dérivée : f(x)=x³-3x",\n "xRange": [-2.5, 2.5],\n "yRange": [-5, 5],\n "functions": [\n { "expression": "x^3 - 3*x", "color": "#3b82f6", "name": "f(x)=x³-3x" },\n { "expression": "3*x^2 - 3", "color": "#ef4444", "name": "f'(x)=3x²-3" }\n ],\n "showGrid": true,\n "showAxes": true,\n "xLabel": "x",\n "yLabel": "y",\n "points": [\n { "x": -1, "y": 2, "color": "#10b981", "label": "Maximum local" },\n { "x": 1, "y": -2, "color": "#f59e0b", "label": "Minimum local" }\n ]\n}\n\n\n## 4. Inégalité des accroissements finis (IAF)\n\nPremière forme : Si $m\\leq f'(x)\\leq M$ sur $[a,b]$, alors\n$$m(b-a)\\leq f(b)-f(a)\\leq M(b-a)$$\n\nDeuxième forme : Si $|f'(x)|\\leq k$ sur $I$, alors pour $a,b\\in I$,\n$$|f(b)-f(a)|\\leq k|b-a|$$\n\n## 5. Étude de fonctions spécifiques\n\nFonctions rationnelles : $\\frac{ax+b}{cx^2+dx+e}$, $\\frac{ax^2+bx+c}{dx^2+ex+f}$\n\nFonctions trigonométriques : $\\cos(ax+b)$, $\\sin(ax+b)$, $\\tan(ax+b)$\n\nFonctions avec racine : $\\sqrt{ax+b}$, $\\sqrt{ax^2+bx+c}$\n\nFonctions avec valeur absolue : $|g(x)|$\n\nmathgraph\n{\n "type": "function",\n "title": "Fonction avec valeur absolue : f(x)=|x²-1|",\n "xRange": [-2.5, 2.5],\n "yRange": [-1, 4],\n "functions": [\n { "expression": "abs(x^2 - 1)", "color": "#3b82f6", "name": "f(x)=|x²-1|" }\n ],\n "showGrid": true,\n "showAxes": true,\n "xLabel": "x",\n "yLabel": "f(x)",\n "points": [\n { "x": -1, "y": 0, "color": "#ef4444", "label": "Racine" },\n { "x": 1, "y": 0, "color": "#ef4444", "label": "Racine" }\n ]\n}\n\n\n## 6. Optimisation - Application au cas des tuyaux\n\nDémarche générale :\n1. Modéliser la grandeur à optimiser par $f(x)$\n2. Déterminer le domaine de $f$\n3. Calculer $f'(x)$\n4. Étudier le signe de $f'(x)$\n5. Identifier les extremums\n6. Conclure dans le contexte\n\nExemple simplifié : Pour la situation des tuyaux, si $L(\\theta)=\\frac{2h}{\\sin\\theta}+k\\cos\\theta$ :\n1. $\\theta\\in]0,\\frac{\\pi}{2}[$\n2. $L'(\\theta)=-2h\\frac{\\cos\\theta}{\\sin^2\\theta}-k\\sin\\theta$\n3. $L'(\\theta)=0 \\Rightarrow \\cdots$\n4. Tableau de variations\n5. $\\theta_0$ minimise $L$\n\n## 7. Dérivée de la bijection réciproque\n\nSi $f$ bijective, dérivable en $x_0$ avec $f'(x_0)\\neq0$, alors :\n$$(f^{-1})'(y_0)=\\frac{1}{f'(x_0)}=\\frac{1}{f'(f^{-1}(y_0))}$$\navec $y_0=f(x_0)$.\n\n## 8. Application économique ivoirienne\n\nExemple : Coût de transport à Abidjan :\n$C(x)=\\begin{cases}10x+50 & 0\\leq x\\leq5\\\\0.5x^2+7.5x+62.5 & x>5\\end{cases}$\n\nÉtude en $x=5$ :\n- Continuité ? $C(5)=100$, $\\lim_{x\\to5^+}C(x)=112.5$ ⇒ non continue\n- Dérivabilité ? $C'_g(5)=10$, $C'_d(5)=12.5$ ⇒ non dérivable\n\nmermaid\ngraph TD\n A[Problème d'optimisation] --> B[Modélisation f(x)];\n B --> C[Dériver f];\n C --> D[Résoudre f'(x)=0];\n D --> E[Étudier signe f'(x)];\n E --> F[Tableau variations];\n F --> G[Identifier extremum];\n G --> H[Conclure contexte];\n