Calcul intégral

Le cours

1. Définition de l'intégrale d'une fonction continue\n\nDéfinition : Soit $f$ une fonction continue sur un intervalle $[a, b]$. On appelle intégrale de $f$ de $a$ à $b$ le nombre réel noté $\\int_a^b f(x) \\, dx$ défini par :\n$$\\int_a^b f(x) \\, dx = F(b) - F(a)$$\noù $F$ est une primitive quelconque de $f$ sur $[a, b]$.\n\nNotation : On note aussi $[F(x)]_a^b = F(b) - F(a)$.\n\nExemple : $\\int_1^3 2x \\, dx = [x^2]_1^3 = 3^2 - 1^2 = 9 - 1 = 8$.\n\n## 2. Interprétation géométrique de l'intégrale\n\nPour une fonction $f$ continue et positive sur $[a, b]$, l'intégrale $\\int_a^b f(x) \\, dx$ représente l'aire (en unités d'aire) du domaine plan :\n- Délimité par la courbe de $f$\n- L'axe des abscisses\n- Les droites verticales $x=a$ et $x=b$\n\nmathgraph\n{\n "type": "function",\n "title": "Intégrale comme aire sous la courbe",\n "xRange": [0, 3],\n "yRange": [0, 4],\n "functions": [\n { "expression": "x^2", "color": "#3b82f6", "name": "f(x)=x²" }\n ],\n "showGrid": true,\n "showAxes": true,\n "xLabel": "x",\n "yLabel": "f(x)",\n "fillArea": [\n { "from": 1, "to": 2, "color": "rgba(59, 130, 246, 0.3)", "label": "Aire = ∫₁² x² dx" }\n ],\n "verticalLines": [\n { "x": 1, "color": "#6b7280", "lineStyle": "dashed" },\n { "x": 2, "color": "#6b7280", "lineStyle": "dashed" }\n ]\n}\n\n\nAttention : Si $f$ est négative sur $[a, b]$, alors $\\int_a^b f(x) \\, dx$ est l'opposé de l'aire du domaine correspondant.\n\n## 3. Propriétés fondamentales de l'intégrale\n\nLinéarité : Pour $f$ et $g$ continues sur $[a, b]$ et $\\lambda \\in \\mathbb{R}$ :\n1. $\\int_a^b (f(x)+g(x)) \\, dx = \\int_a^b f(x) \\, dx + \\int_a^b g(x) \\, dx$\n2. $\\int_a^b \\lambda f(x) \\, dx = \\lambda \\int_a^b f(x) \\, dx$\n\nRelation de Chasles : Pour $a \\leq c \\leq b$,\n$$\\int_a^b f(x) \\, dx = \\int_a^c f(x) \\, dx + \\int_c^b f(x) \\, dx$$\n\nPositivité : Si $f \\geq 0$ sur $[a, b]$, alors $\\int_a^b f(x) \\, dx \\geq 0$.\n\nComparaison : Si $f \\leq g$ sur $[a, b]$, alors $\\int_a^b f(x) \\, dx \\leq \\int_a^b g(x) \\, dx$.\n\n## 4. Inégalité de la moyenne\n\nThéorème (Inégalité de la moyenne) : Si $f$ est continue sur $[a, b]$ et si $m \\leq f(x) \\leq M$ pour tout $x \\in [a, b]$, alors :\n$$m(b-a) \\leq \\int_a^b f(x) \\, dx \\leq M(b-a)$$\n\nValeur moyenne d'une fonction : La valeur moyenne de $f$ sur $[a, b]$ est :\n$$\\mu = \\frac{1}{b-a} \\int_a^b f(x) \\, dx$$\n\nC'est la hauteur d'un rectangle de base $[a, b]$ ayant même aire que celle sous la courbe de $f$.\n\nExemple contextualisé : La température à Yamoussoukro un jour donné entre 6h et 18h est modélisée par $T(t)=20+5\\sin\\left(\\frac{\\pi t}{12}\\right)$ (°C). La température moyenne sur cette période est :\n$\\mu = \\frac{1}{12}\\int_6^{18} \\left(20+5\\sin\\left(\\frac{\\pi t}{12}\\right)\\right) dt \\approx 20°C$.\n\n## 5. Techniques de calcul d'intégrales\n\n### 5.1. Utilisation des primitives\nC'est la méthode directe : trouver une primitive $F$ de $f$, puis calculer $F(b)-F(a)$.\n\n### 5.2. Intégration par parties\nFormule : Pour $u$ et $v$ dérivables sur $[a, b]$ avec $u'$ et $v'$ continues :\n$$\\int_a^b u(x) v'(x) \\, dx = [u(x) v(x)]_a^b - \\int_a^b u'(x) v(x) \\, dx$$\n\nExemple : Calculer $\\int_0^1 x e^x \\, dx$.\nOn pose $u(x)=x$ (donc $u'(x)=1$) et $v'(x)=e^x$ (donc $v(x)=e^x$).\n$\\int_0^1 x e^x \\, dx = [x e^x]_0^1 - \\int_0^1 1 \\cdot e^x \\, dx = (1\\cdot e^1 - 0) - [e^x]_0^1 = e - (e-1) = 1$.\n\n### 5.3. Changement de variable affine\nFormule : Soit $f$ continue sur $[a, b]$ et $\\varphi(t)=\\alpha t+\\beta$ affine avec $\\alpha\\neq0$. Si $\\varphi$ réalise une bijection de $[c, d]$ sur $[a, b]$, alors :\n$$\\int_a^b f(x) \\, dx = \\int_c^d f(\\varphi(t)) \\varphi'(t) \\, dt$$\n\nCas simple : Quand $\\varphi(t)=t+c$ (translation) ou $\\varphi(t)=\\alpha t$ (homothétie).\n\nExemple : Calculer $\\int_0^1 (2x+1)^3 \\, dx$.\nChangement $u=2x+1$ alors $du=2dx$ ou $dx=\\frac{du}{2}$.\nQuand $x=0$, $u=1$; quand $x=1$, $u=3$.\n$\\int_0^1 (2x+1)^3 \\, dx = \\int_1^3 u^3 \\cdot \\frac{du}{2} = \\frac{1}{2} \\left[\\frac{u^4}{4}\\right]_1^3 = \\frac{1}{8}(81-1)=10$.\n\n## 6. Calcul d'aires entre courbes\n\nAire entre deux courbes : Soient $f$ et $g$ continues sur $[a, b]$ avec $f(x) \\geq g(x)$ pour tout $x \\in [a, b]$. L'aire du domaine compris entre les deux courbes est :\n$$A = \\int_a^b [f(x) - g(x)] \\, dx$$\n\nmathgraph\n{\n "type": "function",\n "title": "Aire entre deux courbes",\n "xRange": [0, 3],\n "yRange": [0, 5],\n "functions": [\n { "expression": "x^2", "color": "#3b82f6", "name": "f(x)=x²" },\n { "expression": "x+1", "color": "#ef4444", "name": "g(x)=x+1" }\n ],\n "showGrid": true,\n "showAxes": true,\n "xLabel": "x",\n "yLabel": "y",\n "fillArea": [\n { "from": 1, "to": 2, "between": ["x^2", "x+1"], "color": "rgba(16, 185, 129, 0.3)", "label": "A = ∫₁² (x²-(x+1)) dx" }\n ],\n "points": [\n { "x": 1, "y": 1, "color": "#6b7280", "label": "x=1" },\n { "x": 2, "y": 4, "color": "#6b7280", "label": "x=2" }\n ]\n}\n\n\nExemple : Calculer l'aire entre $y=x^2$ et $y=x+1$ sur $[1, 2]$.\n$A = \\int_1^2 [x^2 - (x+1)] dx = \\int_1^2 (x^2 - x - 1) dx = \\left[\\frac{x^3}{3} - \\frac{x^2}{2} - x\\right]_1^2 = \\frac{5}{6}$ u.a.\n\n## 7. Fonctions définies par une intégrale\n\nDéfinition : Soit $f$ continue sur un intervalle $I$ contenant $a$. La fonction $F$ définie par :\n$$F(x) = \\int_a^x f(t) \\, dt$$\nest dérivable sur $I$ et $F'(x) = f(x)$.\n\nThéorème fondamental : $F$ est l'unique primitive de $f$ qui s'annule en $a$.\n\nExemple : Soit $F(x) = \\int_0^x e^{-t^2} \\, dt$. Alors $F'(x) = e^{-x^2}$.\n\n## 8. Application au calcul d'aire d'un pont en arc\n\nModélisation simplifiée : Un arc de pont peut être modélisé par la fonction $f(x)=\\sqrt{R^2-x^2}$ sur $[-R, R]$ (demi-cercle).\nL'aire sous l'arc est :\n$A = \\int_{-R}^R \\sqrt{R^2-x^2} \\, dx$\n\nPar symétrie : $A = 2 \\int_0^R \\sqrt{R^2-x^2} \\, dx$\nChangement $x=R\\sin t$, $dx=R\\cos t \\, dt$ :\n$A = 2 \\int_0^{\\pi/2} \\sqrt{R^2-R^2\\sin^2 t} \\cdot R\\cos t \\, dt = 2R^2 \\int_0^{\\pi/2} \\cos^2 t \\, dt$\n$= 2R^2 \\int_0^{\\pi/2} \\frac{1+\\cos 2t}{2} \\, dt = R^2 \\left[t + \\frac{\\sin 2t}{2}\\right]_0^{\\pi/2} = \\frac{\\pi R^2}{2}$\n\nC'est bien l'aire d'un demi-cercle de rayon $R$.