Systèmes d'équations linéaires dans ℝ² et ℝ³

Le cours

1. Système de deux équations à deux inconnues\n\nUn système linéaire de deux équations à deux inconnues s'écrit :\n$$\\begin{cases} a_1x + b_1y = c_1 \\\\ a_2x + b_2y = c_2 \\end{cases}$$\noù $a_1, b_1, c_1, a_2, b_2, c_2 \\in \\mathbb{R}$.\n\n## 2. Déterminant du système\n\nOn appelle déterminant du système le nombre :\n$$D = a_1b_2 - a_2b_1$$\n\nExemple : Pour $\\begin{cases} 2x + 3y = 5 \\\\ x - y = 1 \\end{cases}$,\ on a $D = 2 \\times (-1) - 1 \\times 3 = -2 - 3 = -5$.\n\n## 3. Résolution par le déterminant (si D ≠ 0)\n\nSi $D \\neq 0$, le système admet une solution unique :\n$$x = \\frac{c_1b_2 - c_2b_1}{D}, \\quad y = \\frac{a_1c_2 - a_2c_1}{D}$$\n\nApplication : Résoudre le système ci-dessus.\n\n## 4. Interprétation géométrique\n\nDans ℝ², chaque équation représente une droite.\n- Si $D \\neq 0$ : les droites sont sécantes (solution unique = point d'intersection).\n- Si $D = 0$ : les droites sont parallèles (soit aucune solution, soit une infinité si elles sont confondues).\n\n## 5. Système de trois équations à trois inconnues\n\nForme générale :\n$$\\begin{cases} a_1x + b_1y + c_1z = d_1 \\\\ a_2x + b_2y + c_2z = d_2 \\\\ a_3x + b_3y + c_3z = d_3 \\end{cases}$$\n\n## 6. Méthode de substitution\n\n1. Exprimer une inconnue en fonction des autres à partir d'une équation.\n2. Remplacer dans les autres équations.\n3. Se ramener à un système 2×2, puis résoudre.\n\nExemple : Résoudre $\\begin{cases} x + y + z = 6 \\\\ 2x - y + z = 3 \\\\ x + 2y - z = 2 \\end{cases}$\n\n## 7. Méthode du pivot de Gauss\n\nC'est une méthode organisée par combinaisons linéaires pour échelonner le système.\n\nPrincipe :\n1. Choisir un "pivot" (coefficient non nul).\n2. Éliminer l'inconnue correspondante des autres lignes.\n3. Répéter sur le sous-système restant.\n\n## 8. Applications concrètes en Côte d'Ivoire\n\n- Répartition de budgets entre communes (Daloa, Man, Korhogo).\n- Mélanges de produits agricoles (cacao, café, noix de cajou).\n- Problèmes de dosage en chimie (lycées techniques).\n\nExemple : Un coopérative de cacao à Soubré vend deux types de fèves : type A à 1200 F/kg, type B à 800 F/kg. Un client achète 50 kg pour 52 000 F. Combien de kg de chaque type ?