Suites numériques

Le cours

1. Définitions\n\nUne suite numérique est une fonction $u : \\mathbb{N} \\to \\mathbb{R}$\nNotations : $u_n$ (terme de rang n), $(u_n)_{n \\in \\mathbb{N}}$\n\nModes de définition :\n- Formule explicite : $u_n = f(n)$\n- Relation de récurrence : $u_{n+1} = f(u_n)$ avec $u_0$ donné\n\n## 2. Représentation graphique\n\nOn peut représenter une suite :\n- En points isolés $(n, u_n)$\n- Par un diagramme en bâtons\n- Pour une suite récurrente, en "toile d'araignée"\n\nmathgraph\n{\n "type": "sequence",\n "title": "Suite arithmétique vs géométrique",\n "xRange": [0, 10],\n "yRange": [0, 30],\n "sequences": [\n { "type": "explicit", "expression": "2*n + 3", "color": "#8884d8", "name": "uₙ = 2n+3 (arithmétique)", "points": true },\n { "type": "explicit", "expression": "3 * 1.5^n", "color": "#82ca9d", "name": "vₙ = 3×1.5ⁿ (géométrique)", "points": true }\n ],\n "showGrid": true,\n "showAxes": true,\n "xLabel": "n",\n "yLabel": "uₙ"\n}\n\n\n## 3. Suite arithmétique\n\nDéfinition : $u_{n+1} = u_n + r$ où $r$ est la raison\n\nFormule explicite : $u_n = u_0 + n \\times r$\n\nSomme des n premiers termes :\n$$S_n = u_0 + u_1 + ... + u_{n-1} = \\frac{n(u_0 + u_{n-1})}{2} = n \\times \\frac{u_0 + u_{n-1}}{2}$$\n\n## 4. Suite géométrique\n\nDéfinition : $u_{n+1} = u_n \\times q$ où $q$ est la raison ($q \\neq 0$)\n\nFormule explicite : $u_n = u_0 \\times q^n$\n\nSomme des n premiers termes ($q \\neq 1$) :\n$$S_n = u_0 + u_1 + ... + u_{n-1} = u_0 \\times \\frac{1 - q^n}{1 - q}$$\n\n## 5. Sens de variation\n\n- Suite arithmétique : croissante si $r > 0$, décroissante si $r < 0$\n- Suite géométrique :\n - Si $u_0 > 0$ : croissante pour $q > 1$, décroissante pour $0 < q < 1$\n - Si $u_0 < 0$ : inverse\n\n## 6. Intérêts composés\n\nCapital $C_0$ placé au taux $t$ pendant $n$ années :\n$$C_n = C_0 \\times (1 + t)^n$$\n\nC'est une suite géométrique de raison $(1+t)$.\n\n## 7. Application à la situation\n\nDonnées : $C_0 = 200\\ 000$ FCFA, $t = 3\\% = 0.03$, $n = 18$ ans\n\n$C_{18} = 200\\ 000 \\times (1 + 0.03)^{18}$\n$C_{18} = 200\\ 000 \\times (1.03)^{18}$\n$C_{18} \\approx 200\\ 000 \\times 1.7024 \\approx 340\\ 480$ FCFA\n\nConclusion : À 18 ans, l'élève aura environ 340 480 FCFA.\n\n## 8. Exemple ivoirien : croissance démographique\n\nLa population de San-Pédro croît de 2.5% par an. Si elle était de 250 000 habitants en 2020, quelle population en 2030 ?\n$P_{10} = 250\\ 000 \\times (1.025)^{10} \\approx 250\\ 000 \\times 1.280 \\approx 320\\ 000$ habitants.