Équations et inéquations du second degré dans ℝ

Le cours

1. Rappel : Polynôme du second degré\n\nUn polynôme du second degré s'écrit sous la forme :\n$$P(x) = ax^2 + bx + c$$\noù $a \\neq 0$, $b$ et $c$ sont des nombres réels.\n\n## 2. Le discriminant\n\nPour le polynôme $P(x) = ax^2 + bx + c$, on appelle discriminant le nombre réel :\n$$\\Delta = b^2 - 4ac$$\n\nExemple : Pour $P(x) = 2x^2 - 20x + 48$,\ on a $a = 2$, $b = -20$, $c = 48$,\ donc $\\Delta = (-20)^2 - 4 \\times 2 \\times 48 = 400 - 384 = 16$.\n\n## 3. Résolution de l'équation $ax^2 + bx + c = 0$\n\nLe nombre de solutions dépend du signe de $\\Delta$ :\n\n| Signe de $\\Delta$ | Nombre de solutions réelles | Formules des solutions |\n|-------------------|-----------------------------|------------------------|\n| $\\Delta > 0$ | 2 solutions distinctes | $x_1 = \\frac{-b - \\sqrt{\\Delta}}{2a}$ et $x_2 = \\frac{-b + \\sqrt{\\Delta}}{2a}$ |\n| $\\Delta = 0$ | 1 solution double | $x_0 = -\\frac{b}{2a}$ |\n| $\\Delta < 0$ | Aucune solution réelle | |\n\n## 4. Somme et produit des solutions\n\nSi $\\Delta \\geq 0$ et que $x_1$ et $x_2$ sont les solutions (éventuellement égales), alors :\n$$x_1 + x_2 = -\\frac{b}{a} \\quad \\text{et} \\quad x_1 \\cdot x_2 = \\frac{c}{a}$$\n\nApplication : Trouver deux nombres dont la somme est 10 et le produit est 24.\n\n## 5. Signe du polynôme du second degré\n\nLe signe de $P(x) = ax^2 + bx + c$ dépend de $a$ et de $\\Delta$ :\n\n- Si $\\Delta < 0$ : $P(x)$ est du signe de $a$ pour tout $x \\in \\mathbb{R}$.\n- Si $\\Delta = 0$ : $P(x)$ est du signe de $a$ pour tout $x \\neq -\\frac{b}{2a}$, et s'annule en $x_0 = -\\frac{b}{2a}$.\n- Si $\\Delta > 0$ : $P(x)$ est du signe de $a$ à l'extérieur des racines, et du signe opposé à $a$ entre les racines.\n\n## 6. Factorisation\n\nSi $\\Delta \\geq 0$, on peut factoriser :\n$$P(x) = a(x - x_1)(x - x_2)$$\n(avec $x_1 = x_2$ si $\\Delta = 0$).\n\n## 7. Équations irrationnelles simples\n\nRésoudre $\\sqrt{p(x)} = q(x)$ où $p$ est de degré $\\leq 2$ et $q$ de degré $\\leq 1$.\nMéthode :\n1. Conditions d'existence : $p(x) \\geq 0$\n2. Équation équivalente : $p(x) = [q(x)]^2$\n3. Vérifier que les solutions satisfont les conditions.\n\nExemple : $\\sqrt{x^2 - 3x + 2} = x - 1$\n\n## 8. Équations bicarrées\n\nPour résoudre $ax^4 + bx^2 + c = 0$, on pose $X = x^2$ (avec $X \\geq 0$), ce qui donne l'équation du second degré : $aX^2 + bX + c = 0$.\n\nExemple contextualisé : Modélisation de la trajectoire d'un ballon lors d'un match de football à San-Pédro.