Probabilité

Le cours

1. Vocabulaire des probabilités\n\n- Expérience aléatoire : expérience dont on ne peut prévoir le résultat à l'avance (ex: lancer un dé)\n- Univers Ω : ensemble de tous les résultats possibles (pour un dé : Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6})\n- Événement : partie de Ω (ex: A = \"obtenir un nombre pair\" = {2, 4, 6})\n- Événement élémentaire : événement contenant un seul résultat\n- Événement certain : Ω lui-même\n- Événement impossible : ∅ (ensemble vide)\n- Événement contraire de A : noté Ā ou Aᶜ, constitué des résultats non dans A\n\n## 2. Définition d'une probabilité\n\nUne probabilité P est une application qui à tout événement A associe un nombre réel P(A) tel que :\n1. $0 \\leq P(A) \\leq 1$\n2. $P(\\Omega) = 1$\n3. Si A et B sont incompatibles (A∩B = ∅), alors $P(A \\cup B) = P(A) + P(B)$\n\n## 3. Cas d'équiprobabilité\n\nLorsque tous les événements élémentaires ont la même probabilité, on est en situation d'équiprobabilité.\nAlors pour tout événement A :\n$$P(A) = \\frac{\\text{nombre de cas favorables}}{\\text{nombre de cas possibles}}$$\n\nExemple : Pour un dé parfait à 6 faces :\n- Cas possibles : 6\n- P(\"obtenir un 6\") = 1/6\n- P(\"obtenir un nombre pair\") = 3/6 = 1/2\n\n## 4. Formules importantes\n\nPour tous événements A et B :\n1. Probabilité de l'union : $P(A \\cup B) = P(A) + P(B) - P(A \\cap B)$\n2. Probabilité du contraire : $P(\\bar{A}) = 1 - P(A)$\n\nCas particulier : Si A et B sont incompatibles (A∩B = ∅), alors $P(A \\cup B) = P(A) + P(B)$.\n\n## 5. Arbres et tableaux\n\nPour visualiser et calculer :\n- Arbre de probabilités : utile pour les expériences successives\n- Tableau à double entrée : pour deux caractères\n\nExemple : On lance un dé rouge et un dé vert.\nProbabilité d'obtenir un double ?\nCas possibles : 6 × 6 = 36\nCas favorables : 6 (1-1, 2-2, ..., 6-6)\nP(double) = 6/36 = 1/6\n\n## 6. Application à la situation d'apprentissage\n\nPour un dé parfait :\n- P(jackpot) = P(obtenir 6) = 1/6 ≈ 0.1667\n- P(autre numéro) = P(obtenir 1,2,3,4 ou 5) = 5/6 ≈ 0.8333\n\nConclusion : L'élève a raison : on a effectivement moins de chance d'avoir le jackpot (1/6) que d'avoir un autre numéro (5/6).\n\n## 7. Exemple ivoirien : tirage au sort\n\nÀ l'école de Yamoussoukro, on tire au sort un délégué de classe parmi 15 filles et 10 garçons.\n1. Probabilité que ce soit une fille ?\n P(fille) = 15/25 = 3/5 = 0.6\n2. Probabilité que ce soit un garçon ?\n P(garçon) = 10/25 = 2/5 = 0.4\n\n## 8. Liens avec le dénombrement\n\nLes probabilités utilisent les techniques de dénombrement vues précédemment :\n- Arrangements, permutations, combinaisons\n- Cardinal d'un ensemble\n- Principe multiplicatif\n\nExemple : Une urne contient 3 boules rouges, 2 bleues, 1 verte.\nOn tire 2 boules simultanément.\nProbabilité d'avoir 2 boules de même couleur ?