Orthogonalité dans l'espace

Le cours

1. Orthogonalité de deux droites\n\nDeux droites D et D' sont orthogonales si leurs vecteurs directeurs sont orthogonaux.\n\nAttention : Dans l'espace, deux droites orthogonales ne sont pas nécessairement sécantes (contrairement au plan). Elles peuvent être non coplanaires.\n\n## 2. Orthogonalité d'une droite et d'un plan\n\nUne droite D est orthogonale à un plan P si elle est orthogonale à toutes les droites de P.\n\nCaractérisation pratique : D ⊥ P si D est orthogonale à deux droites sécantes de P.\n\nThéorème : Si D ⊥ P, alors D est perpendiculaire à toute droite de P (elles sont sécantes).\n\n## 3. Projection orthogonale sur un plan\n\nLa projection orthogonale sur un plan P est l'application qui à tout point M associe le point M' de P tel que (MM') ⊥ P.\n\nPropriétés :\n- Conserve l'alignement\n- Le projeté du milieu est le milieu des projetés\n- Réduit les distances (MM' ≤ MN pour tout N dans P)\n\n## 4. Plans perpendiculaires\n\nDeux plans P et Q sont perpendiculaires si l'un contient une droite orthogonale à l'autre.\n\nCaractérisation : P ⊥ Q si P contient une droite D ⊥ Q.\n\nAttention : La perpendicularité de plans n'est pas transitive.\n\n## 5. Distance d'un point à un plan\n\nLa distance d'un point A à un plan P est la longueur AH où H est le projeté orthogonal de A sur P.\nC'est la plus courte distance de A à un point de P.\n\n## 6. Solides usuels\n\nDans les solides classiques, repérer les orthogonalités :\n- Cube/pavé droit : arêtes ⊥ aux faces, faces ⊥ entre elles\n- Pyramide à base carrée : hauteur ⊥ au plan de base\n- Prisme droit : arêtes latérales ⊥ aux bases\n\nmathgraph\n{\n \"type\": \"points\",\n \"title\": \"Orthogonalité dans un cube\",\n \"points\": [\n { \"x\": 0, \"y\": 0, \"z\": 0, \"name\": \"A\", \"color\": \"#ff0000\" },\n { \"x\": 2, \"y\": 0, \"z\": 0, \"name\": \"B\", \"color\": \"#00ff00\" },\n { \"x\": 2, \"y\": 2, \"z\": 0, \"name\": \"C\", \"color\": \"#0000ff\" },\n { \"x\": 0, \"y\": 2, \"z\": 0, \"name\": \"D\", \"color\": \"#ff00ff\" },\n { \"x\": 0, \"y\": 0, \"z\": 2, \"name\": \"E\", \"color\": \"#ffff00\" },\n { \"x\": 2, \"y\": 0, \"z\": 2, \"name\": \"F\", \"color\": \"#00ffff\" },\n { \"x\": 2, \"y\": 2, \"z\": 2, \"name\": \"G\", \"color\": \"#800000\" },\n { \"x\": 0, \"y\": 2, \"z\": 2, \"name\": \"H\", \"color\": \"#008000\" }\n ],\n \"segments\": [\n { \"from\": [0,0,0], \"to\": [2,0,0], \"color\": \"#888\" },\n { \"from\": [2,0,0], \"to\": [2,2,0], \"color\": \"#888\" },\n { \"from\": [2,2,0], \"to\": [0,2,0], \"color\": \"#888\" },\n { \"from\": [0,2,0], \"to\": [0,0,0], \"color\": \"#888\" },\n { \"from\": [0,0,2], \"to\": [2,0,2], \"color\": \"#888\" },\n { \"from\": [2,0,2], \"to\": [2,2,2], \"color\": \"#888\" },\n { \"from\": [2,2,2], \"to\": [0,2,2], \"color\": \"#888\" },\n { \"from\": [0,2,2], \"to\": [0,0,2], \"color\": \"#888\" },\n { \"from\": [0,0,0], \"to\": [0,0,2], \"color\": \"#888\" },\n { \"from\": [2,0,0], \"to\": [2,0,2], \"color\": \"#888\" },\n { \"from\": [2,2,0], \"to\": [2,2,2], \"color\": \"#888\" },\n { \"from\": [0,2,0], \"to\": [0,2,2], \"color\": \"#888\" }\n ],\n \"view\": { \"azimuth\": 30, \"elevation\": 20 },\n \"xRange\": [-0.5, 2.5],\n \"yRange\": [-0.5, 2.5],\n \"zRange\": [-0.5, 2.5],\n \"showAxes\": true,\n \"showGrid\": true\n}\n\n\n## 7. Théorème des trois perpendiculaires\n\nThéorème : Soit D une droite orthogonale à un plan P en H.\nPour toute droite Δ de P passant par H, la droite D' passant par un point de D et orthogonale à Δ est orthogonale au plan contenant D et Δ.\n\n## 8. Réponse à la situation\n\nLe deuxième élève a raison :\nPour qu'une droite (un pilier) soit orthogonale à un plan (un plancher), il suffit qu'elle soit orthogonale à deux droites sécantes de ce plan.\n\nDémonstration :\nSi D ⊥ Δ₁ et D ⊥ Δ₂ avec Δ₁ et Δ₂ sécantes en un point, alors tout vecteur du plan peut s'exprimer comme combinaison linéaire de vecteurs directeurs de Δ₁ et Δ₂. Le produit scalaire avec un vecteur directeur de D sera nul.\n\nApplication aux constructions :\nLes architectes vérifient la verticalité des piliers en contrôlant qu'ils sont perpendiculaires à deux directions perpendiculaires du plancher.