Limites et continuité

Le cours

1. Notion intuitive de limite en un point\n\nLa limite de $f$ en $x_0$ est la valeur dont s'approche $f(x)$ quand $x$ s'approche de $x_0$, sans nécessairement atteindre $x_0$.\nNotation : $\\lim_{x \\to x_0} f(x) = L$\n\nExemple : $\\lim_{x \\to 2} (3x + 1) = 7$.\n\n## 2. Limite à gauche, limite à droite\n\n- Limite à gauche : $x$ tend vers $x_0$ par valeurs inférieures ($x < x_0$). Notation : $\\lim_{x \\to x_0^-} f(x)$.\n- Limite à droite : $x$ tend vers $x_0$ par valeurs supérieures ($x > x_0$). Notation : $\\lim_{x \\to x_0^+} f(x)$.\n\nThéorème : $\\lim_{x \\to x_0} f(x)$ existe ssi les limites à gauche et à droite existent et sont égales.\n\n## 3. Limites des fonctions de référence en un point\n\n| Fonction | Limite en $x_0$ (réel) |\n|----------|------------------------|\n| $x \\mapsto c$ (constante) | $c$ |\n| $x \\mapsto x$ | $x_0$ |\n| $x \\mapsto x^n$ (n ∈ ℕ) | $x_0^n$ |\n| $x \\mapsto \\sqrt{x}$ (si $x_0 \\geq 0$) | $\\sqrt{x_0}$ |\n| $x \\mapsto \\frac{1}{x}$ (si $x_0 \\neq 0$) | $\\frac{1}{x_0}$ |\n\n## 4. Opérations sur les limites (admises)\n\nSi $\\lim f(x) = L$ et $\\lim g(x) = L'$ en $x_0$, alors :\n- $\\lim (f+g)(x) = L + L'$\n- $\\lim (f \\cdot g)(x) = L \\cdot L'$\n- $\\lim (\\frac{f}{g})(x) = \\frac{L}{L'}$ si $L' \\neq 0$\n\n## 5. Continuité en un point\n\nDéfinition : $f$ est continue en $x_0$ si :\n1. $f$ est définie en $x_0$\n2. $\\lim_{x \\to x_0} f(x)$ existe\n3. $\\lim_{x \\to x_0} f(x) = f(x_0)$\n\nInterprétation graphique : La courbe ne présente ni "trou" ni "saut" en $x_0$.\n\nmathgraph\n{\n "type": "function",\n "title": "Fonction continue vs discontinue",\n "xRange": [-1, 3],\n "yRange": [-1, 5],\n "functions": [\n { "expression": "x^2", "color": "#8884d8", "name": "f(x) = x² (continue)" },\n { \n "expression": "x <= 1 ? x^2 : x + 2", \n "color": "#ff0000", \n "name": "f(x) par morceaux (discontinue en x=1)",\n "lineStyle": "dashed"\n }\n ],\n "showGrid": true,\n "showAxes": true,\n "xLabel": "x",\n "yLabel": "y",\n "points": [\n { "x": 1, "y": 1, "color": "#8884d8", "name": "(1,1)" },\n { "x": 1, "y": 3, "color": "#ff0000", "name": "limite à droite = 3" }\n ],\n "verticalLines": [\n { "x": 1, "color": "#ccc", "lineStyle": "dotted" }\n ]\n}\n\n\n## 6. Continuité sur un intervalle\n\n$f$ est continue sur un intervalle I si elle est continue en tout point de I.\n\nExemples de fonctions continues sur leur domaine :\n- Polynômes (sur ℝ)\n- Fonctions rationnelles (sur leur domaine)\n- Racine carrée (sur [0, +∞[)\n\n## 7. Prolongement par continuité\n\nSi $f$ n'est pas définie en $x_0$ mais si $\\lim_{x \\to x_0} f(x) = L$ existe, on peut prolonger $f$ en $x_0$ en posant $f(x_0) = L$.\n\nExemple : $f(x) = \\frac{\\sin x}{x}$ n'est pas définie en 0, mais $\\lim_{x \\to 0} f(x) = 1$.\n\nmathgraph\n{\n "type": "function",\n "title": "Prolongement par continuité : f(x) = sin(x)/x",\n "xRange": [-8, 8],\n "yRange": [-0.5, 1.5],\n "functions": [\n { "expression": "sin(x)/x", "color": "#8884d8", "name": "sin(x)/x" }\n ],\n "showGrid": true,\n "showAxes": true,\n "xLabel": "x",\n "yLabel": "y",\n "points": [\n { "x": 0, "y": 1, "color": "#ff0000", "name": "Prolongement f(0)=1" }\n ]\n}\n\n\n## 8. Application : étude de la situation d'apprentissage\n\nSoit $f$ définie par :\n$$f(x) = \\begin{cases} x^2 & \\text{si } x \\leq 1 \\\\ x+2 & \\text{si } x > 1 \\end{cases}$$\n\n- En $x_0 = 1$ :\n - Limite à gauche : $\\lim_{x \\to 1^-} f(x) = \\lim_{x \\to 1^-} x^2 = 1$\n - Limite à droite : $\\lim_{x \\to 1^+} f(x) = \\lim_{x \\to 1^+} (x+2) = 3$\n - Les limites à gauche et à droite sont différentes → pas de limite en 1.\n - Donc $f$ n'est pas continue en 1 (il y a un "saut" de 2 unités).\n\nExemple ivoirien* : Modélisation du coût de l'électricité avec une tarification différente selon les tranches de consommation (discontinuité aux seuils).