Généralités sur les fonctions

Le cours

1. Rappels : fonction, application\n\n- Fonction $f : E \\to F$ : à tout élément de E on associe au plus un élément de F.\n- Application : à tout élément de E on associe exactement un élément de F.\n- Restriction d'une fonction à une partie de son ensemble de définition.\n\n## 2. Injectivité, surjectivité, bijectivité\n\n| Propriété | Définition | Condition équivalente |\n|-----------|------------|----------------------|\n| Injective | $f(x_1) = f(x_2) \\Rightarrow x_1 = x_2$ | Tout élément de F a au plus un antécédent |\n| Surjective | $\\forall y \\in F, \\exists x \\in E, f(x) = y$ | Tout élément de F a au moins un antécédent |\n| Bijective | Injective et surjective | Tout élément de F a exactement un antécédent |\n\nExemple : $f(x) = x^2$ de ℝ dans ℝ n'est ni injective (f(1)=f(-1)) ni surjective (aucun x tel que f(x) = -1).\n\n## 3. Bijection réciproque\n\nSi $f : E \\to F$ est bijective, sa bijection réciproque $f^{-1} : F \\to E$ vérifie :\n$$\\forall x \\in E, f^{-1}(f(x)) = x \\quad \\text{et} \\quad \\forall y \\in F, f(f^{-1}(y)) = y$$\n\nReprésentation graphique : Les courbes de $f$ et $f^{-1}$ sont symétriques par rapport à la droite d'équation $y = x$.\n\nmathgraph\n{\n "type": "function",\n "title": "Fonction et sa réciproque : f(x) = 2x + 1",\n "xRange": [-3, 5],\n "yRange": [-3, 5],\n "functions": [\n { "expression": "2*x + 1", "color": "#8884d8", "name": "f(x) = 2x + 1" },\n { "expression": "(x - 1)/2", "color": "#82ca9d", "name": "f⁻¹(x) = (x-1)/2" },\n { "expression": "x", "color": "#ff7300", "name": "y = x", "lineStyle": "dashed" }\n ],\n "showGrid": true,\n "showAxes": true,\n "xLabel": "x",\n "yLabel": "y"\n}\n\n\n## 4. Opérations sur les fonctions\n\nSoient $f$ et $g$ deux fonctions.\n- Somme : $(f+g)(x) = f(x) + g(x)$\n- Produit : $(f \\cdot g)(x) = f(x) \\cdot g(x)$\n- Quotient : $\\left(\\frac{f}{g}\\right)(x) = \\frac{f(x)}{g(x)}$ (si $g(x) \\neq 0$)\n- Composée : $(f \\circ g)(x) = f(g(x))$ (si $g(x) \\in D_f$)\n\nAttention aux ensembles de définition :\n- $D_{f+g} = D_f \\cap D_g$\n- $D_{f/g} = D_f \\cap D_g \\cap \\{x | g(x) \\neq 0\\}$\n\n## 5. Fonctions associées par transformation géométrique\n\n| Fonction associée | Transformation géométrique | Effet sur la courbe |\n|-------------------|----------------------------|---------------------|\n| $x \\mapsto f(x - a)$ | Translation horizontale | Décalage de $a$ unités vers la droite |\n| $x \\mapsto f(x) + b$ | Translation verticale | Décalage de $b$ unités vers le haut |\n| $x \\mapsto f(-x)$ | Symétrie axiale | Symétrie par rapport à l'axe des ordonnées |\n| $x \\mapsto -f(x)$ | Symétrie axiale | Symétrie par rapport à l'axe des abscisses |\n| $x \\mapsto |f(x)|$ | Valeur absolue | Partie négative de la courbe est remontée au-dessus de l'axe |\n\nmathgraph\n{\n "type": "function",\n "title": "Transformations d'une fonction : f(x) = x²",\n "xRange": [-3, 3],\n "yRange": [-2, 5],\n "functions": [\n { "expression": "x^2", "color": "#8884d8", "name": "f(x) = x²" },\n { "expression": "(x-1)^2", "color": "#82ca9d", "name": "f(x-1)" },\n { "expression": "x^2 + 1", "color": "#ff7300", "name": "f(x)+1" },\n { "expression": "-x^2", "color": "#ff0000", "name": "-f(x)" }\n ],\n "showGrid": true,\n "showAxes": true,\n "xLabel": "x",\n "yLabel": "y",\n "legend": true\n}\n\n\n## 6. Comparaison de fonctions\n\n- $f \\leq g$ sur un intervalle I ssi $\\forall x \\in I, f(x) \\leq g(x)$.\n- Résoudre $f(x) \\leq g(x)$ graphiquement : chercher les abscisses où la courbe de $f$ est en dessous de celle de $g$.\n\n## 7. Exemple contextualisé : évolution démographique\n\nÀ Korhogo, la population $P(t)$ (en milliers) est modélisée par $P(t) = 50 + 2t$ (t en années).\nLe besoin en eau $E(t)$ (en m³) est $E(t) = 100 \\times P(t)$.\nExprimer $E(t)$ en fonction de $t$ et interpréter.\n\n## 8. Applications aux études de marché\n\nUne entreprise de téléphonie à Abidjan propose deux forfaits :\n- Forfait A : $f(x) = 5000 + 100x$ (x = nombre de minutes)\n- Forfait B : $g(x) = 200x$\nPour quelles valeurs de x le forfait A est-il plus avantageux ? Résoudre $f(x) < g(x)$.