Extension de la notion de limite

Le cours

1. Limite infinie en un point\n\nOn dit que $f$ tend vers $+\\infty$ quand $x$ tend vers $x_0$ si $f(x)$ devient arbitrairement grand quand $x$ est proche de $x_0$.\nNotation : $\\lim_{x \\to x_0} f(x) = +\\infty$.\n\nExemple : $\\lim_{x \\to 0^+} \\frac{1}{x} = +\\infty$.\n\n## 2. Asymptote verticale\n\nSi $\\lim_{x \\to x_0} f(x) = \\pm \\infty$, alors la droite d'équation $x = x_0$ est une asymptote verticale à la courbe de $f$.\n\nExemple : Pour $f(x) = \\frac{1}{x-3}$, $\\lim_{x \\to 3} f(x) = \\infty$, donc $x = 3$ est asymptote verticale.\n\nmathgraph\n{\n "type": "function",\n "title": "Asymptote verticale : f(x) = 1/(x-2)",\n "xRange": [-2, 6],\n "yRange": [-8, 8],\n "functions": [\n { "expression": "1/(x-2)", "color": "#8884d8", "name": "f(x) = 1/(x-2)" }\n ],\n "showGrid": true,\n "showAxes": true,\n "xLabel": "x",\n "yLabel": "y",\n "verticalLines": [\n { "x": 2, "color": "#ff0000", "name": "Asymptote x=2", "lineStyle": "dashed" }\n ]\n}\n\n\n## 3. Limite à l'infini\n\n- $\\lim_{x \\to +\\infty} f(x) = L$ signifie que $f(x)$ s'approche de $L$ quand $x$ devient très grand.\n- $\\lim_{x \\to -\\infty} f(x) = L$ signifie que $f(x)$ s'approche de $L$ quand $x$ devient très négatif.\n\n## 4. Asymptote horizontale\n\nSi $\\lim_{x \\to +\\infty} f(x) = L$ (ou $x \\to -\\infty$), alors la droite d'équation $y = L$ est une asymptote horizontale à la courbe de $f$.\n\nExemple : $\\lim_{x \\to +\\infty} \\frac{2x+1}{x} = 2$, donc $y = 2$ est asymptote horizontale.\n\nmathgraph\n{\n "type": "function",\n "title": "Asymptote horizontale : f(x) = (2x+1)/x",\n "xRange": [-5, 15],\n "yRange": [-1, 5],\n "functions": [\n { "expression": "(2*x+1)/x", "color": "#8884d8", "name": "f(x) = (2x+1)/x" }\n ],\n "showGrid": true,\n "showAxes": true,\n "xLabel": "x",\n "yLabel": "y",\n "horizontalLines": [\n { "y": 2, "color": "#ff0000", "name": "Asymptote y=2", "lineStyle": "dashed" }\n ]\n}\n\n\n## 5. Limites infinies à l'infini\n\nExemples classiques :\n- $\\lim_{x \\to +\\infty} x^2 = +\\infty$\n- $\\lim_{x \\to +\\infty} \\sqrt{x} = +\\infty$\n- $\\lim_{x \\to +\\infty} \\frac{1}{x} = 0$\n\n## 6. Limites des fonctions polynômes à l'infini\n\nPour un polynôme $P(x) = a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + ... + a_0$ ($a_n \\neq 0$) :\n$$\\lim_{x \\to \\pm \\infty} P(x) = \\lim_{x \\to \\pm \\infty} a_nx^n = \\pm \\infty$$\nLe signe dépend du signe de $a_n$ et de la parité de $n$.\n\nmathgraph\n{\n "type": "function",\n "title": "Comportement des polynômes à l'infini",\n "xRange": [-5, 5],\n "yRange": [-20, 20],\n "functions": [\n { "expression": "x^3", "color": "#8884d8", "name": "P(x) = x³" },\n { "expression": "-x^2", "color": "#82ca9d", "name": "P(x) = -x²" }\n ],\n "showGrid": true,\n "showAxes": true,\n "xLabel": "x",\n "yLabel": "y"\n}\n\n\n## 7. Limites des fonctions rationnelles à l'infini\n\nPour $f(x) = \\frac{P(x)}{Q(x)}$ avec $P$ de degré $n$ et $Q$ de degré $m$ :\n- Si $n < m$ : $\\lim_{x \\to \\pm \\infty} f(x) = 0$\n- Si $n = m$ : $\\lim_{x \\to \\pm \\infty} f(x) = \\frac{a_n}{b_m}$ (rapport des coeff dominants)\n- Si $n > m$ : $\\lim_{x \\to \\pm \\infty} f(x) = \\pm \\infty$\n\n## 8. Application à la situation d'apprentissage\n\nSoit $f(t) = \\frac{t}{2t+1}$ pour $t \\geq 0$.\n- $\\lim_{t \\to +\\infty} f(t) = \\lim_{t \\to +\\infty} \\frac{t}{2t} = \\lim_{t \\to +\\infty} \\frac{1}{2} = \\frac{1}{2}$.\n- Donc la droite $y = \\frac{1}{2}$ est asymptote horizontale.\n\nmathgraph\n{\n "type": "function",\n "title": "Situation d'apprentissage : f(t) = t/(2t+1)",\n "xRange": [0, 20],\n "yRange": [0, 1],\n "functions": [\n { "expression": "x/(2*x+1)", "color": "#8884d8", "name": "f(t) = t/(2t+1)" }\n ],\n "showGrid": true,\n "showAxes": true,\n "xLabel": "t",\n "yLabel": "f(t)",\n "horizontalLines": [\n { "y": 0.5, "color": "#ff0000", "name": "Asymptote y=1/2", "lineStyle": "dashed" }\n ]\n}\n\n\nInterprétation : À long terme, la position du mobile se stabilise autour de la cote 0,5.\n\nExemple ivoirien : Modélisation de la croissance d'une plantation d'hévéa à San-Pédro : le rendement tend vers une limite à long terme.