Dérivation

Le cours

1. Nombre dérivé en un point\n\nLe nombre dérivé de $f$ en $x_0$ est la limite, si elle existe :\n$$f'(x_0) = \\lim_{h \\to 0} \\frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h}$$\n\nInterprétation géométrique : $f'(x_0)$ est le coefficient directeur de la tangente à la courbe de $f$ au point d'abscisse $x_0$.\n\n## 2. Fonction dérivée\n\nSi $f$ est dérivable en tout point d'un intervalle I, on définit sa fonction dérivée $f'$ sur I.\n\nRelation avec la continuité : Si $f$ est dérivable en $x_0$, alors $f$ est continue en $x_0$. La réciproque est fausse.\n\n## 3. Dérivées des fonctions de référence\n\n| Fonction | Dérivée | Domaine de dérivabilité |\n|----------|---------|-------------------------|\n| $x \\mapsto k$ (constante) | $0$ | $\\mathbb{R}$ |\n| $x \\mapsto x$ | $1$ | $\\mathbb{R}$ |\n| $x \\mapsto x^n$ ($n \\in \\mathbb{N}^*$) | $nx^{n-1}$ | $\\mathbb{R}$ |\n| $x \\mapsto \\sqrt{x}$ | $\\frac{1}{2\\sqrt{x}}$ | $]0, +\\infty[$ |\n| $x \\mapsto \\frac{1}{x}$ | $-\\frac{1}{x^2}$ | $\\mathbb{R}^*$ |\n| $x \\mapsto \\sin x$ | $\\cos x$ | $\\mathbb{R}$ |\n| $x \\mapsto \\cos x$ | $-\\sin x$ | $\\mathbb{R}$ |\n| $x \\mapsto \\tan x$ | $1 + \\tan^2 x = \\frac{1}{\\cos^2 x}$ | $x \\neq \\frac{\\pi}{2} + k\\pi$ |\n\n## 4. Opérations sur les dérivées\n\nSoient $f$ et $g$ dérivables sur I, $k \\in \\mathbb{R}$ :\n- $(kf)' = kf'$\n- $(f + g)' = f' + g'$\n- $(fg)' = f'g + fg'$\n- $\\left(\\frac{1}{g}\\right)' = -\\frac{g'}{g^2}$ (si $g \\neq 0$)\n- $\\left(\\frac{f}{g}\\right)' = \\frac{f'g - fg'}{g^2}$ (si $g \\neq 0$)\n\n## 5. Dérivée de la composée\n\nSi $f$ est dérivable en $x$ et $g$ en $f(x)$, alors :\n$$(g \\circ f)'(x) = g'(f(x)) \\cdot f'(x)$$\n\nCas particulier : $[f(ax+b)]' = a \\cdot f'(ax+b)$\n\n## 6. Tangente à une courbe\n\nL'équation de la tangente à la courbe de $f$ au point d'abscisse $x_0$ est :\n$$y = f'(x_0)(x - x_0) + f(x_0)$$\n\nmathgraph\n{\n "type": "function",\n "title": "Tangente à une courbe",\n "xRange": [-1, 4],\n "yRange": [-2, 8],\n "functions": [\n { "expression": "x^2", "color": "#8884d8", "name": "f(x) = x²" },\n { "expression": "2*x - 1", "color": "#ff0000", "name": "Tangente en x=1", "lineStyle": "dashed" }\n ],\n "showGrid": true,\n "showAxes": true,\n "xLabel": "x",\n "yLabel": "y",\n "points": [\n { "x": 1, "y": 1, "color": "#00ff00", "name": "Point de contact" }\n ]\n}\n\n\n## 7. Sens de variation et extremums\n\nSoit $f$ dérivable sur I :\n- Si $f'(x) \\geq 0$ sur I, alors $f$ est croissante sur I\n- Si $f'(x) \\leq 0$ sur I, alors $f$ est décroissante sur I\n- Si $f'(x_0) = 0$ et $f'$ change de signe en $x_0$, alors $f$ admet un extremum local en $x_0$\n\n## 8. Application à la situation d'apprentissage\n\nPour $b(x) = -x^2 + 40x - 225$ :\n1. $b'(x) = -2x + 40$\n2. $b'(x) = 0 \\Leftrightarrow -2x + 40 = 0 \\Leftrightarrow x = 20$\n3. Signe de $b'$ : positif avant 20, négatif après\n4. Donc maximum en $x = 20$ tonnes\n5. $b(20) = -(20)^2 + 40 \\times 20 - 225 = 175$ milliers de FCFA\n\nConclusion : Le bénéfice maximal est de 175 000 FCFA pour 20 tonnes de manioc broyé par semaine.