Étude et représentation graphique d'une fonction

Le cours

1. Parité d'une fonction\n\n- Fonction paire : $f(-x) = f(x)$ pour tout x ∈ D_f\n → Symétrie par rapport à l'axe des ordonnées\n- Fonction impaire : $f(-x) = -f(x)$ pour tout x ∈ D_f\n → Symétrie par rapport à l'origine\n\nExemples : $x^2$, cos(x) sont paires ; $x^3$, sin(x), tan(x) sont impaires.\n\n## 2. Périodicité\n\n$f$ est périodique de période T > 0 si :\n$$f(x + T) = f(x) \\text{ pour tout } x \\in D_f$$\n\nExemples : sin(x) et cos(x) ont période $2\\pi$ ; tan(x) a période $\\pi$.\n\n## 3. Centre et axe de symétrie\n\n- Centre de symétrie Ω(a,b) : $f(2a - x) = 2b - f(x)$\n- Axe de symétrie x = a : $f(2a - x) = f(x)$\n\n## 4. Asymptotes\n\n- Verticale : $x = a$ si $\\lim_{x \\to a} f(x) = \\pm \\infty$\n- Horizontale : $y = b$ si $\\lim_{x \\to \\pm \\infty} f(x) = b$\n- Oblique : $y = ax + b$ si $\\lim_{x \\to \\pm \\infty} [f(x) - (ax + b)] = 0$\n\n## 5. Méthodologie d'étude complète\n\n1. Domaine de définition\n2. Parité / périodicité (pour réduire l'intervalle d'étude)\n3. Dérivée et sens de variation\n4. Limites aux bornes\n5. Asymptotes\n6. Tableau de variation\n7. Représentation graphique\n\n## 6. Fonctions polynômes du 2nd et 3ème degré\n\n- Degré 2 : $f(x) = ax^2 + bx + c$\n Parabole, sommet en $x = -\\frac{b}{2a}$\n- Degré 3 : $f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$\n Courbe cubique, 0 ou 2 extremums\n\nmathgraph\n{\n "type": "function",\n "title": "Fonctions polynômes",\n "xRange": [-3, 3],\n "yRange": [-5, 5],\n "functions": [\n { "expression": "x^2 - 2", "color": "#8884d8", "name": "f(x) = x² - 2 (degré 2)" },\n { "expression": "0.2*x^3 - x", "color": "#82ca9d", "name": "f(x) = 0.2x³ - x (degré 3)" }\n ],\n "showGrid": true,\n "showAxes": true,\n "xLabel": "x",\n "yLabel": "y"\n}\n\n\n## 7. Fonctions homographiques\n\nForme : $f(x) = \\frac{ax + b}{cx + d}$ avec $c \\neq 0$ et $ad - bc \\neq 0$\n- Asymptote verticale : $x = -\\frac{d}{c}$\n- Asymptote horizontale : $y = \\frac{a}{c}$\n- Centre de symétrie : $\\Omega(-\\frac{d}{c}, \\frac{a}{c})$\n\n## 8. Application à la situation\n\nBénéfice : $B(x) = 40x - C(x) = 40x - (0.004x^2 + 30x + 1000)$\n$B(x) = -0.004x^2 + 10x - 1000$\n\n1. Domaine : $x \\geq 0$\n2. Dérivée : $B'(x) = -0.008x + 10$\n3. $B'(x) = 0 \\Leftrightarrow x = 1250$\n4. Tableau : B croissante jusqu'à 1250, décroissante après\n5. Bénéfice positif quand $B(x) > 0$\n Résoudre $-0.004x^2 + 10x - 1000 > 0$\n Δ = 36, racines ≈ 111 et 2239\n Donc bénéfice pour $x \\in ]111, 2239[$\n\nConclusion : La ménagère fait des bénéfices entre 112 et 2239 galettes par jour.