Composées de transformations du plan

Le cours

1. Rappel : transformations de base\n\n- Translation de vecteur u⃗ : tᵤ\n Caractérisée par : M' = tᵤ(M) ⇔ MM'⃗ = u⃗\n- Rotation de centre O et d'angle α : r(O,α)\n- Homothétie de centre O et de rapport k (k ≠ 0) : h(O,k)\n\n## 2. Composée de deux translations\n\nLa composée de deux translations est une translation.\n$$t_{\\vec{v}} \\circ t_{\\vec{u}} = t_{\\vec{u} + \\vec{v}}$$\n\nPropriété : L'ensemble des translations muni de la composition est un groupe commutatif.\n\n## 3. Composée de deux rotations de même centre\n\nSoient r₁ = r(O,α) et r₂ = r(O,β).\nLeur composée est une rotation de même centre :\n$$r(O,β) \\circ r(O,α) = r(O, α+β)$$\n\nAttention : L'addition des angles est modulo 2π.\n\n## 4. Composée de deux homothéties de même centre\n\nSoient h₁ = h(O,k₁) et h₂ = h(O,k₂) avec k₁k₂ ≠ 0.\nLeur composée est une homothétie de même centre :\n$$h(O,k₂) \\circ h(O,k₁) = h(O, k₁k₂)$$\n\nCas particulier : Si k₁k₂ = 1, la composée est l'identité.\n\n## 5. Expression analytique\n\nDans un repère :\n- Translation de vecteur u⃗(a,b) :\n $$M(x,y) → M'(x+a, y+b)$$\n- Homothétie de centre O(0,0) et rapport k :\n $$M(x,y) → M'(kx, ky)$$\n\n## 6. Construction géométrique\n\nPour construire l'image d'un point M par une composée :\n1. Construire M₁ = première transformation(M)\n2. Construire M' = deuxième transformation(M₁)\n\nExemple : Image par r(B,β) ∘ tᵤ\n\nmathgraph\n{\n \"type\": \"points\",\n \"title\": \"Composée translation puis rotation\",\n \"points\": [\n { \"x\": 1, \"y\": 1, \"name\": \"M\", \"color\": \"#ff0000\" },\n { \"x\": 3, \"y\": 2, \"name\": \"M₁ = tᵤ(M)\", \"color\": \"#00ff00\" },\n { \"x\": 2, \"y\": 4, \"name\": \"M' = r(M₁)\", \"color\": \"#0000ff\" },\n { \"x\": 0, \"y\": 0, \"name\": \"O\", \"color\": \"#000000\", \"size\": 4 }\n ],\n \"segments\": [\n { \"from\": [1,1], \"to\": [3,2], \"color\": \"#888\", \"lineStyle\": \"dashed\", \"name\": \"Translation\" },\n { \"from\": [3,2], \"to\": [2,4], \"color\": \"#888\", \"lineStyle\": \"dotted\", \"name\": \"Rotation\" },\n { \"from\": [1,1], \"to\": [2,4], \"color\": \"#ff0000\", \"name\": \"Composée\" }\n ],\n \"xRange\": [-1, 5],\n \"yRange\": [-1, 5],\n \"showGrid\": true,\n \"showAxes\": true,\n \"xLabel\": \"x\",\n \"yLabel\": \"y\"\n}\n\n\n## 7. Applications aux démonstrations\n\nLes composées permettent de démontrer des propriétés géométriques.\n\nExemple : Montrer que les médianes d'un triangle sont concourantes.\nOn peut utiliser des homothéties de rapport -1/2.\n\n## 8. Application à l'architecture\n\nMotifs répétitifs :\n1. Un motif de base (ex: une fenêtre)\n2. Une translation pour aligner les fenêtres sur une façade\n3. Une autre translation (ou symétrie) pour les étages\n\nLa composée t₂ ∘ t₁ donne la position de chaque élément.\n\nExemple ivoirien :\nLes bas-reliefs des cases traditionnelles baoulé utilisent souvent des translations et symétries pour créer des motifs décoratifs.