Barycentre

Le cours

1. Point pondéré\n\nUn point pondéré est un couple (A, α) où :\n- A est un point du plan ou de l'espace\n- α est un nombre réel appelé coefficient ou poids\n\nNotation : G = bar{(A, α); (B, β)} ou G = bar{A, B \ α, β}\n\n## 2. Barycentre de deux points\n\nSoient A et B deux points, α et β deux réels avec α + β ≠ 0.\nLe barycentre G des points pondérés (A, α) et (B, β) est l'unique point tel que :\n$$\\alpha \\overrightarrow{GA} + \\beta \\overrightarrow{GB} = \\vec{0}$$\n\nCondition d'existence : α + β ≠ 0\n\n## 3. Barycentre de trois points\n\nPour (A, α), (B, β), (C, γ) avec α + β + γ ≠ 0, le barycentre G vérifie :\n$$\\alpha \\overrightarrow{GA} + \\beta \\overrightarrow{GB} + \\gamma \\overrightarrow{GC} = \\vec{0}$$\n\n## 4. Propriété de réduction\n\nPour tout point M du plan :\n- Avec 2 points : $\\alpha \\overrightarrow{MA} + \\beta \\overrightarrow{MB} = (\\alpha + \\beta) \\overrightarrow{MG}$\n- Avec 3 points : $\\alpha \\overrightarrow{MA} + \\beta \\overrightarrow{MB} + \\gamma \\overrightarrow{MC} = (\\alpha + \\beta + \\gamma) \\overrightarrow{MG}$\n\nCette formule est très utile pour simplifier des expressions vectorielles.\n\n## 5. Coordonnées du barycentre\n\nDans un repère, si A(x_A, y_A), B(x_B, y_B), C(x_C, y_C), alors G a pour coordonnées :\n$$x_G = \\frac{\\alpha x_A + \\beta x_B + \\gamma x_C}{\\alpha + \\beta + \\gamma}$$\n$$y_G = \\frac{\\alpha y_A + \\beta y_B + \\gamma y_C}{\\alpha + \\beta + \\gamma}$$\n\nCas particulier : Le milieu I de [AB] est le barycentre de (A,1) et (B,1).\n\n## 6. Théorème des barycentres partiels\n\nAssociativité : Si G est barycentre de (A, α), (B, β), (C, γ), et si H est barycentre de (A, α), (B, β), alors G est barycentre de (H, α+β) et (C, γ).\n\nCette propriété permet des constructions géométriques étape par étape.\n\n## 7. Isobarycentre\n\nL'isobarycentre est le barycentre avec tous les coefficients égaux (souvent pris égaux à 1) :\n- Pour 2 points : milieu du segment\n- Pour 3 points : centre de gravité du triangle\n\n## 8. Application à la situation\n\nDonnées : A, B, C avec masses 2g, 3g, 4g.\nLe point d'équilibre G vérifie bien :\n$$2\\overrightarrow{GA} + 3\\overrightarrow{GB} + 4\\overrightarrow{GC} = \\vec{0}$$\n\nConstruction :\n1. Trouver H barycentre de (A,2) et (B,3)\n H divise [AB] dans le rapport 3:2 (plus près de B car masse plus grande)\n2. G est barycentre de (H,5) et (C,4)\n G divise [HC] dans le rapport 4:5\n\nSignification physique : G est le centre d'inertie du système.\n\nmathgraph\n{\n \"type\": \"points\",\n \"title\": \"Barycentre d'un triangle avec masses\",\n \"points\": [\n { \"x\": 1, \"y\": 2, \"name\": \"A (2g)\", \"color\": \"#ff0000\" },\n { \"x\": 5, \"y\": 1, \"name\": \"B (3g)\", \"color\": \"#00ff00\" },\n { \"x\": 3, \"y\": 5, \"name\": \"C (4g)\", \"color\": \"#0000ff\" },\n { \"x\": 3.1, \"y\": 2.9, \"name\": \"H (A+B)\", \"color\": \"#ff00ff\", \"size\": 4 },\n { \"x\": 3.05, \"y\": 3.7, \"name\": \"G barycentre\", \"color\": \"#000000\", \"size\": 6 }\n ],\n \"segments\": [\n { \"from\": [1, 2], \"to\": [5, 1], \"color\": \"#ccc\" },\n { \"from\": [5, 1], \"to\": [3, 5], \"color\": \"#ccc\" },\n { \"from\": [3, 5], \"to\": [1, 2], \"color\": \"#ccc\" },\n { \"from\": [3.1, 2.9], \"to\": [3.05, 3.7], \"color\": \"#ff7300\", \"lineStyle\": \"dashed\" }\n ],\n \"xRange\": [0, 6],\n \"yRange\": [0, 6],\n \"showGrid\": true,\n \"showAxes\": true,\n \"xLabel\": \"x\",\n \"yLabel\": \"y\"\n}\n