Angles orientés et trigonométrie

Le cours

1. Mesure d'un angle orienté\n\nL'angle orienté de vecteurs (u⃗, v⃗) est noté (u⃗, v⃗).\nIl admet une infinité de mesures : si θ est une mesure, alors θ + 2kπ (k∈ℤ) aussi.\n\nMesure principale : l'unique mesure appartenant à ]-π, π].\n\n## 2. Propriétés des mesures\n\nPour tout réel k ≠ 0 :\n1. (ku⃗, v⃗) a pour mesures :\n - θ si k > 0\n - θ + π si k < 0\n2. (u⃗, kv⃗) : même règle\n3. (ku⃗, kv⃗) = (u⃗, v⃗) si k > 0\n = (u⃗, v⃗) + π si k < 0\n\n## 3. Relation de Chasles\n\nPour tous vecteurs u⃗, v⃗, w⃗ :\n$$(\\vec{u}, \\vec{w}) = (\\vec{u}, \\vec{v}) + (\\vec{v}, \\vec{w}) \\quad [2\\pi]$$\n\nConséquence : (v⃗, u⃗) = -(u⃗, v⃗) [2π]\n\n## 4. Angles inscrits et angles au centre\n\nThéorème de l'angle inscrit :\nSur un cercle, pour deux points A et B fixes et M variable sur l'arc AB (ne contenant pas un certain point) :\n$$(\\overrightarrow{OA}, \\overrightarrow{OB}) = 2(\\overrightarrow{MA}, \\overrightarrow{MB}) \\quad [2\\pi]$$\n\nApplication : 4 points A, B, C, D sont cocycliques si :\n$$(\\overrightarrow{CA}, \\overrightarrow{CB}) = (\\overrightarrow{DA}, \\overrightarrow{DB}) \\quad [\\pi]$$\n\n## 5. Formules de trigonométrie\n\nAddition :\n- $\\cos(a+b) = \\cos a \\cos b - \\sin a \\sin b$\n- $\\cos(a-b) = \\cos a \\cos b + \\sin a \\sin b$\n- $\\sin(a+b) = \\sin a \\cos b + \\cos a \\sin b$\n- $\\sin(a-b) = \\sin a \\cos b - \\cos a \\sin b$\n\nDuplication :\n- $\\cos(2a) = \\cos^2 a - \\sin^2 a = 2\\cos^2 a - 1 = 1 - 2\\sin^2 a$\n- $\\sin(2a) = 2 \\sin a \\cos a$\n\nLinéarisation :\n- $\\cos^2 a = \\frac{1+\\cos(2a)}{2}$\n- $\\sin^2 a = \\frac{1-\\cos(2a)}{2}$\n\n## 6. Équations trigonométriques\n\n1. $\\cos x = \\cos a$ ⇔ $x = a + 2k\\pi$ ou $x = -a + 2k\\pi$, k∈ℤ\n2. $\\sin x = \\sin a$ ⇔ $x = a + 2k\\pi$ ou $x = \\pi - a + 2k\\pi$, k∈ℤ\n3. $\\tan x = \\tan a$ ⇔ $x = a + k\\pi$, k∈ℤ (avec a ≠ π/2 + kπ)\n\nmathgraph\n{\n \"type\": \"function\",\n \"title\": \"Cercle trigonométrique et angles\",\n \"xRange\": [-1.5, 1.5],\n \"yRange\": [-1.5, 1.5],\n \"parametric\": true,\n \"curves\": [\n { \"x\": \"cos(t)\", \"y\": \"sin(t)\", \"tMin\": 0, \"tMax\": 6.283, \"color\": \"#8884d8\", \"name\": \"Cercle trigo\" }\n ],\n \"showGrid\": true,\n \"showAxes\": true,\n \"xLabel\": \"cos θ\",\n \"yLabel\": \"sin θ\",\n \"points\": [\n { \"x\": 1, \"y\": 0, \"name\": \"0°/0\", \"color\": \"#ff0000\" },\n { \"x\": 0.707, \"y\": 0.707, \"name\": \"45°/π/4\", \"color\": \"#00ff00\" },\n { \"x\": 0.5, \"y\": 0.866, \"name\": \"60°/π/3\", \"color\": \"#0000ff\" },\n { \"x\": 0, \"y\": 1, \"name\": \"90°/π/2\", \"color\": \"#ff00ff\" }\n ],\n \"annotations\": [\n { \"x\": 0.35, \"y\": 0.2, \"text\": \"Mesure principale\ndans ]-π, π]\", \"color\": \"#000000\" }\n ]\n}\n\n\n## 7. Réduction de a cos x + b sin x\n\nOn peut toujours écrire :\n$$a \\cos x + b \\sin x = \\sqrt{a^2 + b^2} \\cos(x - \\varphi)$$\noù $\\cos\\varphi = \\frac{a}{\\sqrt{a^2+b^2}}$ et $\\sin\\varphi = \\frac{b}{\\sqrt{a^2+b^2}}$\n\n## 8. Application à la situation\n\nPour placer les stands par rapport à la direction PB⃗ :\n- Stand E : 45° à gauche = angle de -45° (-π/4 rad)\n- Stand F : 60° à droite = angle de +60° (π/3 rad)\n- Stand G : 90° à gauche = -90° (-π/2 rad)\n- Stand H : 75° à gauche = -75° (-5π/12 rad)\n\nSi on prend PB⃗ comme référence (angle 0), alors :\n- Direction PE⃗ : angle (PB⃗, PE⃗) = -π/4\n- Direction PF⃗ : angle (PB⃗, PF⃗) = π/3\n- etc.\n\nOn peut ensuite calculer les coordonnées si on connaît les distances.