Vecteurs de l'espace

Le cours

1. Vecteurs de l'espace\n\nUn vecteur de l'espace est défini par :\n- Une direction\n- Un sens\n- Une norme (longueur)\n\nNotation : $$\\vec{u}$$, $$\\overrightarrow{AB}$$.\n\n## 2. Opérations sur les vecteurs\n\n- Addition : règle du parallélogramme\n- Multiplication par un scalaire\n- Produit scalaire (voir plus loin)\n\n## 3. Colinéarité et orthogonalité\n\n- Colinéaires : $$\\vec{u}$$ et $$\\vec{v}$$ sont colinéaires s'il existe k tel que $$\\vec{v} = k\\vec{u}$$.\n- Orthogonaux : $$\\vec{u} \\cdot \\vec{v} = 0$$.\n\n## 4. Vecteurs coplanaires\n\nTrois vecteurs $$\\vec{u}, \\vec{v}, \\vec{w}$$ sont coplanaires si l'un est combinaison des deux autres :\n$$\\exists \\alpha, \\beta, \\quad \\vec{w} = \\alpha\\vec{u} + \\beta\\vec{v}$$\n\nSinon, ils sont non coplanaires et forment une base.\n\n## 5. Base et repère\n\n- Base : ($$\\vec{i}, \\vec{j}, \\vec{k}$$) triple de vecteurs non coplanaires.\n- Base orthonormée : vecteurs deux à deux orthogonaux et de norme 1.\n- Repère : (O, $$\\vec{i}, \\vec{j}, \\vec{k}$$) avec O origine.\n\n## 6. Coordonnées\n\nDans une base ($$\\vec{i}, \\vec{j}, \\vec{k}$$) :\n$$\\vec{u} = x\\vec{i} + y\\vec{j} + z\\vec{k}$$ ⇒ coordonnées (x, y, z).\n\nDans un repère (O, $$\\vec{i}, \\vec{j}, \\vec{k}$$) :\n$$\\overrightarrow{OM} = x\\vec{i} + y\\vec{j} + z\\vec{k}$$ ⇒ M(x, y, z).\n\n## 7. Produit scalaire dans l'espace\n\nDéfinition géométrique : $$\\vec{u} \\cdot \\vec{v} = \\|\\vec{u}\\| \\times \\|\\vec{v}\\| \\times \\cos(\\vec{u}, \\vec{v})$$\n\nDans une base orthonormée : si $$\\vec{u}(x,y,z)$$ et $$\\vec{v}(x',y',z')$$, alors :\n$$\\vec{u} \\cdot \\vec{v} = xx' + yy' + zz'$$\n\nPropriétés identiques au plan : symétrie, bilinéarité.\n\n## 8. Norme et distance\n\nNorme : $$\\|\\vec{u}\\| = \\sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$$\n\nDistance entre A(x_A,y_A,z_A) et B(x_B,y_B,z_B) :\n$$AB = \\sqrt{(x_B-x_A)^2 + (y_B-y_A)^2 + (z_B-z_A)^2}$$\n\nApplication à l'aviation : Un avion au-dessus de Yamoussoukro peut être repéré par (x, y, altitude). Sa distance à l'aéroport se calcule avec la formule 3D.