Systèmes d'équations linéaires dans IR² et dans IR³

Le cours

1. Système de deux équations à deux inconnues\n\nUn système linéaire 2×2 s'écrit :\n$$\\begin{cases} a_1x + b_1y = c_1 \\\\ a_2x + b_2y = c_2 \\end{cases}$$\n\noù $$a_1, b_1, c_1, a_2, b_2, c_2 \\in \\mathbb{R}$$.\n\n## 2. Déterminant d'un système 2×2\n\nLe déterminant est défini par :\n$$\\Delta = a_1b_2 - a_2b_1$$\n\nExemple : Pour $$\\begin{cases} 2x + 3y = 7 \\\\ x - y = 1 \\end{cases}$$\n$$\\Delta = 2 \\times (-1) - 1 \\times 3 = -2 - 3 = -5$$\n\n## 3. Résolution par la méthode du déterminant\n\nSi $$\\Delta \\neq 0$$, le système admet une unique solution :\n$$x = \\frac{\\Delta_x}{\\Delta}, \\quad y = \\frac{\\Delta_y}{\\Delta}$$\n\noù :\n$$\\Delta_x = c_1b_2 - c_2b_1$$\n$$\\Delta_y = a_1c_2 - a_2c_1$$\n\n## 4. Interprétation géométrique\n\nDans le plan :\n- Chaque équation représente une droite\n- Si $$\\Delta \\neq 0$$ : les droites sont sécantes (une unique solution)\n- Si $$\\Delta = 0$$ : les droites sont parallèles (soit aucune, soit une infinité de solutions)\n\n## 5. Système de trois équations à trois inconnues\n\nForme générale :\n$$\\begin{cases} a_1x + b_1y + c_1z = d_1 \\\\ a_2x + b_2y + c_2z = d_2 \\\\ a_3x + b_3y + c_3z = d_3 \\end{cases}$$\n\n## 6. Méthode de substitution\n\n1. Exprimer une inconnue en fonction des autres à partir d'une équation\n2. Substituer cette expression dans les autres équations\n3. Résoudre le système réduit\n\nExemple ivoirien : Un commerçant de Daloa vend des sacs de riz, de maïs et de mil. Les informations sur les quantités et prix totaux forment un système 3×3.\n\n## 7. Méthode du pivot de Gauss\n\nCette méthode consiste à échelonner le système par opérations élémentaires :\n\n1. Échanger deux équations\n2. Multiplier une équation par un scalaire non nul\n3. Ajouter à une équation un multiple d'une autre\n\nL'objectif est d'obtenir un système triangulaire.\n\n## 8. Applications économiques en Côte d'Ivoire\n\nProblème : Une coopérative agricole de Man produit du café, du cacao et de l'anacarde. En avril, la vente de 10 kg de café, 15 kg de cacao et 20 kg d'anacarde a rapporté 125 000 FCFA. En mai, 12 kg de café, 18 kg de cacao et 25 kg d'anacarde ont rapporté 150 000 FCFA. En juin, 8 kg de café, 20 kg de cacao et 15 kg d'anacarde ont rapporté 120 000 FCFA. Trouver le prix au kg de chaque produit.\n\nCe problème se traduit par un système 3×3 à résoudre.