Équations et inéquations du second degré dans IR

Le cours

1. Introduction au polynôme du second degré\n\nUn polynôme du second degré est une expression de la forme :\n$$p(x) = ax^2 + bx + c$$\noù $$a \\neq 0$$, et $$a, b, c \\in \\mathbb{R}$$.\n\nExemple ivoirien : Le coût de production de cacao dans une plantation de San-Pédro peut être modélisé par $$C(x) = 0.05x^2 + 100x + 5000$$, où x est le nombre de kg produits.\n\n## 2. Discriminant d'un polynôme du second degré\n\nLe discriminant, noté $$\\Delta$$, est défini par :\n$$\\Delta = b^2 - 4ac$$\n\nExemple : Pour $$p(x) = 3x^2 - 5x + 2$$ :\n$$\\Delta = (-5)^2 - 4 \\times 3 \\times 2 = 25 - 24 = 1$$\n\n## 3. Résolution de l'équation $$ax^2 + bx + c = 0$$\n\nLe nombre de solutions dépend du signe de $$\\Delta$$ :\n\n| Signe de $$\\Delta$$ | Nombre de solutions | Solutions |\n|-------------------|---------------------|-----------|\n| $$\\Delta > 0$$ | 2 solutions distinctes | $$x_1 = \\frac{-b - \\sqrt{\\Delta}}{2a}$$ et $$x_2 = \\frac{-b + \\sqrt{\\Delta}}{2a}$$ |\n| $$\\Delta = 0$$ | 1 solution double | $$x_0 = -\\frac{b}{2a}$$ |\n| $$\\Delta < 0$$ | Aucune solution réelle | Pas de solution dans $$\\mathbb{R}$$ |\n\n## 4. Somme et produit des racines\n\nSi $$x_1$$ et $$x_2$$ sont les racines de $$ax^2 + bx + c = 0$$, alors :\n$$x_1 + x_2 = -\\frac{b}{a}$$\n$$x_1 \\cdot x_2 = \\frac{c}{a}$$\n\nApplication : Trouver deux nombres connaissant leur somme S et leur produit P revient à résoudre $$x^2 - Sx + P = 0$$.\n\n## 5. Signe d'un polynôme du second degré\n\nLe signe de $$p(x) = ax^2 + bx + c$$ dépend du signe de a et de $$\\Delta$$ :\n\n- Si $$\\Delta < 0$$ : $$p(x)$$ est du signe de a pour tout x réel.\n- Si $$\\Delta = 0$$ : $$p(x)$$ est du signe de a pour tout x, sauf en $$x_0$$ où il s'annule.\n- Si $$\\Delta > 0$$ : $$p(x)$$ est du signe de a à l'extérieur des racines, et du signe contraire entre les racines.\n\n## 6. Résolution d'inéquations du second degré\n\nPour résoudre $$ax^2 + bx + c \\geq 0$$ :\n1. On calcule $$\\Delta$$\n2. On détermine les racines si elles existent\n3. On applique la règle des signes\n\nExemple : Résoudre $$2x^2 - 3x - 2 \\leq 0$$\n$$\\Delta = 25$$, racines : $$x_1 = -0.5$$, $$x_2 = 2$$\nSolution : $$x \\in [-0.5, 2]$$\n\n## 7. Équations se ramenant au second degré\n\nCertaines équations peuvent être transformées :\n\n1. Équations bicarrées : $$ax^4 + bx^2 + c = 0$$\n On pose $$X = x^2$$ pour obtenir $$aX^2 + bX + c = 0$$\n\n2. Équations irrationnelles simples : $$\\sqrt{p(x)} = q(x)$$\n On élève au carré sous conditions : $$p(x) \\geq 0$$ et $$q(x) \\geq 0$$\n\n## 8. Applications concrètes en Côte d'Ivoire\n\nProblème : Un transporteur d'Abidjan à Bouaké a des frais fixes de 50 000 FCFA et des frais variables de 200 FCFA par passager. Le prix du billet est de 1500 FCFA. Combien de passagers sont nécessaires pour un bénéfice d'au moins 100 000 FCFA ?\n\nModélisation : Bénéfice = Recette - Coût\n$$B(x) = 1500x - (200x + 50000) = 1300x - 50000$$\nOn résout $$1300x - 50000 \\geq 100000$$\nSolution : $$x \\geq \\approx 116$$ passagers.