Suites numériques

Le cours

1. Définition d'une suite\n\nUne suite numérique est une fonction définie sur ℕ (ou une partie de ℕ) à valeurs dans ℝ.\nNotation : $$(u_n)_{n \\in \\mathbb{N}}$$ ou $$(u_n)$$.\n\n## 2. Modes de définition\n\n- Explicite : $$u_n = f(n)$$\n Exemple : $$u_n = 2n + 1$$\n\n- Par récurrence : $$u_{n+1} = f(u_n)$$ avec $$u_0$$ donné\n Exemple : $$u_{n+1} = 2u_n + 1$$, $$u_0 = 3$$\n\n## 3. Représentation graphique\n\nOn place les points $$(n, u_n)$$ dans un repère.\n\n## 4. Sens de variation\n\nUne suite $$(u_n)$$ est :\n- Croissante si $$u_{n+1} \\geq u_n$$ pour tout n\n- Décroissante si $$u_{n+1} \\leq u_n$$ pour tout n\n- Constante si $$u_{n+1} = u_n$$ pour tout n\n\nMéthodes d'étude :\n1. Calculer $$u_{n+1} - u_n$$\n2. Comparer $$u_{n+1}/u_n$$ à 1 (si termes positifs)\n3. Étudier la fonction associée f si $$u_n = f(n)$$\n\n## 5. Suite arithmétique\n\nDéfinition : $$u_{n+1} = u_n + r$$ où r est la raison.\nTerme général : $$u_n = u_0 + n \\times r$$\nSomme de n termes : $$S_n = u_0 + u_1 + ... + u_{n-1} = \\frac{n(u_0 + u_{n-1})}{2}$$\n\nExemple ivoirien : Augmentation annuelle fixe du prix du riz sur le marché d'Abidjan.\n\n## 6. Suite géométrique\n\nDéfinition : $$u_{n+1} = u_n \\times q$$ où q est la raison (q ≠ 0).\nTerme général : $$u_n = u_0 \\times q^n$$\nSomme de n termes : $$S_n = u_0 + u_1 + ... + u_{n-1} = u_0 \\times \\frac{1 - q^n}{1 - q}$$ (si q ≠ 1)\n\n## 7. Application aux intérêts composés\n\nCapital initial $$C_0$$, taux annuel t.\nAprès n années : $$C_n = C_0 \\times (1 + t)^n$$\n\nRésolution de la situation :\n$$C_0 = 200000$$, t = 0.03, n = 18\n$$C_{18} = 200000 \\times (1.03)^{18}$$\n$$C_{18} \\approx 200000 \\times 1.7024 \\approx 340480$$ FCFA\n\n## 8. Problèmes concrets\n\n1. Démographie : Population d'une ville comme San-Pédro croissant à taux constant.\n2. Dépréciation : Valeur d'un véhicule perdant x% par an.\n3. Production : Augmentation de la production agricole selon un pourcentage annuel.\n\nModèle de croissance de la population de Yamoussoukro :\nSi la population était de 200 000 habitants en 2000 avec un taux de croissance annuel de 2.5%, la population en 2020 serait :\n$$P_{20} = 200000 \\times (1.025)^{20} \\approx 327 000$$ habitants.