Probabilité

Le cours

1. Vocabulaire des probabilités\n\n- Expérience aléatoire : Issue incertaine (lancer de dé)\n- Univers Ω : Ensemble de toutes les issues possibles\n- Événement : Sous-ensemble de Ω\n- Événement élémentaire : Singleton (une seule issue)\n- Événement certain : Ω\n- Événement impossible : ∅\n\n## 2. Définition classique (équiprobabilité)\n\nSi toutes les issues sont équiprobables :\n$$P(A) = \\frac{\\text{nombre d'issues favorables}}{\\text{nombre d'issues possibles}} = \\frac{\\text{card}(A)}{\\text{card}(Ω)}$$\n\nExemple : Dé à 6 faces équilibré :\n- P(obtenir 6) = 1/6 ≈ 0.1667\n- P(obtenir un nombre pair) = 3/6 = 1/2\n\n## 3. Propriétés fondamentales\n\n1. $$0 \\leq P(A) \\leq 1$$\n2. $$P(Ω) = 1$$\n3. $$P(∅) = 0$$\n4. $$P(\\bar{A}) = 1 - P(A)$$ (probabilité de l'événement contraire)\n\n## 4. Probabilité de l'union\n\n$$P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B)$$\n\nSi A et B sont incompatibles (A ∩ B = ∅), alors :\n$$P(A ∪ B) = P(A) + P(B)$$\n\n## 5. Situation de la kermesse\n\nUnivers Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, card(Ω) = 6\nÉvénement J = "obtenir le jackpot" = {6}\n$$P(J) = 1/6 ≈ 0.1667$$\n\nÉvénement N = "obtenir un numéro non gagnant" = {1, 2, 3, 4, 5}\n$$P(N) = 5/6 ≈ 0.8333$$\n\nEffectivement, P(J) < P(N), l'élève a raison : on a moins de chance d'avoir le jackpot que d'avoir un autre numéro.\n\n## 6. Probabilités avec dés, pièces, cartes\n\n- Dé à 6 faces : Ω = {1,...,6}, card(Ω) = 6\n- Pièce de monnaie : Ω = {Pile, Face}, card(Ω) = 2\n- Cartes à jouer : 32 ou 52 cartes, avec couleurs et valeurs\n\nExemple : Lancer deux dés :\ncard(Ω) = 6 × 6 = 36\nP(somme = 7) = 6/36 = 1/6 (paires : (1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1))\n\n## 7. Applications ivoiriennes\n\n1. Météo : Probabilité de pluie à Abidjan en saison des pluies\n2. Agriculture : Probabilité qu'une plantation de cacao soit affectée par une maladie\n3. Transport : Probabilité qu'un bus soit à l'heure sur la ligne Abidjan-Yamoussoukro\n\n## 8. Arbres de probabilités\n\nPour des expériences successives, on peut construire un arbre :\n- Les branches représentent les issues\n- Les feuilles donnent les issues finales\n- On multiplie les probabilités le long d'un chemin\n\nExemple : Lancer deux pièces :\nPremier lancer : P(P) = 1/2, P(F) = 1/2\nPour chaque, deuxième lancer : mêmes probabilités\nP(PP) = 1/2 × 1/2 = 1/4\nP(PF) = 1/4, etc.