Orthogonalité dans l'espace

Le cours

1. Droites orthogonales\n\nDeux droites D et D' sont orthogonales si leurs vecteurs directeurs sont orthogonaux.\n\nAttention : Orthogonal ≠ perpendiculaire. Deux droites orthogonales ne sont pas nécessairement sécantes (elles peuvent être dans des plans différents).\n\n## 2. Droite orthogonale à un plan\n\nUne droite D est orthogonale à un plan P si elle est orthogonale à toutes les droites de P.\n\nThéorème : D ⟂ P si et seulement si D est orthogonale à deux droites sécantes de P.\n\nC'est la réponse au débat : le deuxième élève a raison.\n\n## 3. Caractérisation vectorielle\n\nSoit D de vecteur directeur $$\\vec{u}$$, et P de vecteurs directeurs $$\\vec{v}$$ et $$\\vec{w}$$ (non colinéaires).\nD ⟂ P ⇔ $$\\vec{u}$$ ⟂ $$\\vec{v}$$ et $$\\vec{u}$$ ⟂ $$\\vec{w}$$.\n\n## 4. Projection orthogonale\n\nLa projection orthogonale sur un plan P associe à tout point M son projeté H, pied de la perpendiculaire à P passant par M.\n\nPropriétés :\n- Conservation de l'alignement\n- Le projeté du milieu est le milieu des projetés\n- Réduction des distances\n\n## 5. Distance d'un point à un plan\n\nLa distance de M à P est la longueur MH où H est le projeté orthogonal.\nC'est la plus courte distance de M à un point de P.\n\n## 6. Plans perpendiculaires\n\nDeux plans P et Q sont perpendiculaires si l'un contient une droite orthogonale à l'autre.\n\nCaractérisation : P ⟂ Q ⇔ leurs vecteurs normaux sont orthogonaux.\n\n## 7. Application au bâtiment\n\nPour que les planchers soient parallèles, il suffit que les piliers soient orthogonaux à deux droites sécantes du premier plancher. Alors chaque pilier sera orthogonal à tous les planchers (qui sont parallèles entre eux).\n\n## 8. Calcul de distance point-plan\n\nSi P a pour équation $$ax+by+cz+d=0$$ et M(x₀,y₀,z₀), alors :\n$$d(M,P) = \\frac{|ax₀+by₀+cz₀+d|}{\\sqrt{a²+b²+c²}}$$\n\nFormule analogue à la distance point-droite dans le plan.