Limites et continuité

Le cours

1. Limite en un point\n\nIntuitivement, la limite de f en a est la valeur dont s'approche f(x) quand x s'approche de a.\nNotation : $$\\lim_{x \\to a} f(x) = L$$.\n\n## 2. Limite à gauche et à droite\n\n- Limite à gauche : $$\\lim_{x \\to a^-} f(x)$$ quand x s'approche de a par valeurs inférieures\n- Limite à droite : $$\\lim_{x \\to a^+} f(x)$$ quand x s'approche de a par valeurs supérieures\n\nThéorème : $$\\lim_{x \\to a} f(x)$$ existe ssi les limites à gauche et à droite existent et sont égales.\n\n## 3. Continuité en un point\n\nUne fonction f est continue en a si :\n1) f est définie en a\n2) $$\\lim_{x \\to a} f(x)$$ existe\n3) $$\\lim_{x \\to a} f(x) = f(a)$$\n\nExemple : La fonction 'prix du taxi' à Abidjan est souvent discontinue : le prix saute à chaque kilomètre supplémentaire.\n\n## 4. Continuité sur un intervalle\n\nUne fonction est continue sur un intervalle I si elle est continue en tout point de I.\n\n## 5. Opérations sur les limites\n\nSi $$\\lim_{x \\to a} f(x) = L$$ et $$\\lim_{x \\to a} g(x) = M$$, alors :\n- $$\\lim_{x \\to a} (f + g)(x) = L + M$$\n- $$\\lim_{x \\to a} (f \\times g)(x) = L \\times M$$\n- Si $$M \\neq 0$$, $$\\lim_{x \\to a} (f / g)(x) = L / M$$\n\n## 6. Limites des fonctions de référence\n\n| Fonction | Limite en 0 | Limite en +∞ |\n|----------|-------------|---------------|\n| $$x \\mapsto c$$ (constante) | c | c |\n| $$x \\mapsto x$$ | 0 | +∞ |\n| $$x \\mapsto x^2$$ | 0 | +∞ |\n| $$x \\mapsto \\sqrt{x}$$ | 0 | +∞ |\n| $$x \\mapsto \\frac{1}{x}$$ | ∞ (pas de limite) | 0 |\n\n## 7. Continuité des fonctions usuelles\n\nLes fonctions suivantes sont continues sur leur domaine :\n- Polynômes (sur $$\\mathbb{R}$$)\n- Fonctions rationnelles (sauf aux pôles)\n- Racine carrée (sur $$[0, +∞[$$)\n- Valeur absolue (sur $$\\mathbb{R}$$)\n\n## 8. Applications concrètes\n\nProblème de la pêche à San-Pédro : Le rendement R(t) d'un bateau de pêche en fonction du temps t en mer est continu jusqu'à un certain seuil, puis peut présenter une discontinuité (panne mécanique, changement de zone de pêche). L'étude de la continuité permet d'optimiser le temps en mer.\n\nÉtude de la fonction de la situation :\n$$f(x) = \\begin{cases} x^2 & \\text{si } x \\leq 1 \\\\ x+2 & \\text{si } x > 1 \\end{cases}$$\n\nEn 1 : $$\\lim_{x \\to 1^-} f(x) = 1^2 = 1$$\n$$\\lim_{x \\to 1^+} f(x) = 1 + 2 = 3$$\nLimites différentes → pas de limite en 1 → discontinue en 1.