Géométrie analytique du plan

Le cours

1. Rappel : équation cartésienne d'une droite\n\nDans le plan muni d'un repère orthonormé, une droite a une équation de la forme :\n$$ax + by + c = 0$$ avec (a,b) ≠ (0,0).\n\nLe vecteur $$\\vec{u}(-b, a)$$ est un vecteur directeur.\n\n## 2. Vecteur normal à une droite\n\nUn vecteur $$\\vec{n}$$ est normal à une droite D s'il est orthogonal à tout vecteur directeur de D.\n\nThéorème : Pour la droite d'équation $$ax + by + c = 0$$, le vecteur $$\\vec{n}(a, b)$$ est normal à D.\n\nDémonstration : Soit $$\\vec{u}(-b, a)$$ un vecteur directeur.\n$$\\vec{n} \\cdot \\vec{u} = a \\times (-b) + b \\times a = -ab + ab = 0$$.\n\n## 3. Droite définie par un point et un vecteur normal\n\nSi une droite D passe par $$A(x_0, y_0)$$ et a pour vecteur normal $$\\vec{n}(a, b)$$, alors :\n$$M(x, y) \\in D \\Leftrightarrow \\overrightarrow{AM} \\cdot \\vec{n} = 0$$\n$$\\Leftrightarrow a(x - x_0) + b(y - y_0) = 0$$\n$$\\Leftrightarrow ax + by + c = 0$$ avec $$c = -ax_0 - by_0$$.\n\n## 4. Parallélisme et perpendicularité\n\nSoit D : $$ax + by + c = 0$$ et D' : $$a'x + b'y + c' = 0$$.\n\n1. D parallèle à D' ⇔ $$\\vec{n}$$ et $$\\vec{n}'$$ sont colinéaires ⇔ $$ab' - a'b = 0$$\n\n2. D perpendiculaire à D' ⇔ $$\\vec{n}$$ et $$\\vec{n}'$$ sont orthogonaux ⇔ $$aa' + bb' = 0$$\n\n## 5. Distance d'un point à une droite\n\nLa distance du point $$A(x_0, y_0)$$ à la droite D : $$ax + by + c = 0$$ est :\n$$d(A, D) = \\frac{|ax_0 + by_0 + c|}{\\sqrt{a^2 + b^2}}$$\n\nDémonstration : Soit H le projeté orthogonal de A sur D.\n$$d(A, D) = AH = \\frac{|\\overrightarrow{AM} \\cdot \\vec{n}|}{\\|\\vec{n}\\|}$$ pour tout M ∈ D.\n\n## 6. Application à la situation du jeu\n\nDans le jeu, si on connaît les coordonnées :\n- A (point de départ)\n- O (trou)\n- B et D (extrémités du bord)\n\nOn peut chercher C ∈ [BD] tel que (AC) ⟂ (CO).\nCela revient à résoudre un système utilisant les conditions de perpendicularité.\n\n## 7. Problème ivoirien : aménagement urbain\n\nÀ Yamoussoukro, pour tracer une nouvelle avenue perpendiculaire à une existante dont l'équation est $$3x - 4y + 12 = 0$$, et passant par le carrefour P(2, 5), on cherche l'équation de la nouvelle avenue.\n\nSolution : Vecteur normal de la rue existante : $$\\vec{n}(3, -4)$$.\nVecteur directeur de la nouvelle avenue = $$\\vec{n}$$ (car perpendiculaire).\nDonc vecteur normal de la nouvelle avenue : $$\\vec{n}'(-4, -3)$$ (orthogonal à $$\\vec{n}$$).\nÉquation : $$-4(x - 2) - 3(y - 5) = 0$$ ⇒ $$-4x - 3y + 23 = 0$$.\n\n## 8. Intersection de droites\n\nPour trouver l'intersection de deux droites :\n$$\\begin{cases} a_1x + b_1y + c_1 = 0 \\\\ a_2x + b_2y + c_2 = 0 \\end{cases}$$\n\nOn résout le système. Si $$a_1b_2 - a_2b_1 ≠ 0$$, il y a une unique solution.