Généralités sur les fonctions

Le cours

1. Rappel : notion de fonction\n\nUne fonction $$f$$ de E dans F associe à tout élément x de E au plus un élément y de F.\nNotation : $$f : E \\rightarrow F$$.\nL'ensemble de définition est noté $$D_f$$.\n\n## 2. Application\n\nUne application est une fonction telle que tout élément de E a exactement une image dans F.\nToute application est une fonction, mais l'inverse est faux.\n\nExemple : $$f : \\mathbb{R} \\rightarrow \\mathbb{R}, x \\mapsto \\sqrt{x}$$ n'est pas une application de $$\\mathbb{R}$$ dans $$\\mathbb{R}$$ car les nombres négatifs n'ont pas d'image.\n\n## 3. Application injective\n\nUne application $$f$$ est injective si deux éléments distincts ont des images distinctes :\n$$\\forall x_1, x_2 \\in E, \\quad x_1 \\neq x_2 \\Rightarrow f(x_1) \\neq f(x_2)$$\nOu de manière équivalente :\n$$f(x_1) = f(x_2) \\Rightarrow x_1 = x_2$$\n\nTest graphique : Toute droite horizontale coupe la courbe au plus une fois.\n\n## 4. Application surjective\n\nUne application $$f : E \\rightarrow F$$ est surjective si tout élément de F a au moins un antécédent :\n$$\\forall y \\in F, \\exists x \\in E, \\quad f(x) = y$$\n\nExemple ivoirien : La fonction qui associe à une région de Côte d'Ivoire sa capitale est surjective si on considère toutes les capitales régionales.\n\n## 5. Application bijective\n\nUne application est bijective si elle est à la fois injective et surjective.\nElle admet alors une application réciproque notée $$f^{-1}$$.\n\n## 6. Fonctions associées\n\nÀ partir d'une fonction $$f$$, on peut construire :\n\n| Transformation | Fonction associée | Effet graphique |\n|---------------|-------------------|-----------------|\n| Translation horizontale | $$x \\mapsto f(x - a)$$ | Déplacement de a unités vers la droite |\n| Translation verticale | $$x \\mapsto f(x) + b$$ | Déplacement de b unités vers le haut |\n| Symétrie par rapport à l'axe des y | $$x \\mapsto f(-x)$$ | Miroir vertical |\n| Symétrie par rapport à l'axe des x | $$x \\mapsto -f(x)$$ | Miroir horizontal |\n| Valeur absolue | $$x \\mapsto |f(x)|$$ | Partie négative retournée vers le haut |\n\n## 7. Composition de fonctions\n\nSoit $$f : E \\rightarrow F$$ et $$g : F \\rightarrow G$$.\nLa composée $$g \\circ f$$ est définie par :\n$$(g \\circ f)(x) = g(f(x))$$\n\nAttention : L'ordre est important, $$g \\circ f \\neq f \\circ g$$ en général.\n\n## 8. Comparaison de fonctions\n\nOn dit que $$f \\leq g$$ sur un intervalle I si :\n$$\\forall x \\in I, \\quad f(x) \\leq g(x)$$\n\nRésoudre $$f(x) \\leq g(x)$$ graphiquement revient à chercher les x où la courbe de f est en dessous de celle de g.\n\nApplication au bénéfice : Une entreprise de transport Abidjan-San-Pédro a une recette $$R(x) = 2500x$$ et un coût $$C(x) = 500x + 200000$$. Le bénéfice $$B(x) = R(x) - C(x)$$ est positif quand $$R(x) \\geq C(x)$$.