Dérivation

Le cours

1. Taux d'accroissement\n\nLe taux d'accroissement de f entre a et a+h est :\n$$\\tau(h) = \\frac{f(a+h) - f(a)}{h}$$\n\n## 2. Nombre dérivé\n\nLe nombre dérivé de f en a, noté f'(a), est la limite du taux d'accroissement :\n$$f'(a) = \\lim_{h \\to 0} \\frac{f(a+h) - f(a)}{h}$$\n\nInterprétation géométrique : f'(a) est le coefficient directeur de la tangente à la courbe au point d'abscisse a.\n\n## 3. Équation de la tangente\n\nLa tangente à la courbe de f au point d'abscisse a a pour équation :\n$$y = f'(a)(x - a) + f(a)$$\n\n## 4. Fonction dérivée\n\nLa fonction dérivée f' associe à tout x où f est dérivable le nombre dérivé f'(x).\n\n## 5. Dérivées des fonctions usuelles\n\n| Fonction f(x) | Dérivée f'(x) |\n|---------------|---------------|\n| $$c$$ (constante) | 0 |\n| $$x$$ | 1 |\n| $$x^n$$ (n ∈ ℕ) | $$nx^{n-1}$$ |\n| $$\\sqrt{x}$$ | $$\\frac{1}{2\\sqrt{x}}$$ |\n| $$\\frac{1}{x}$$ | $$-\\frac{1}{x^2}$$ |\n| $$\\sin x$$ | $$\\cos x$$ |\n| $$\\cos x$$ | $$-\\sin x$$ |\n\n## 6. Opérations sur les dérivées\n\nSi u et v sont dérivables :\n- $$(u + v)' = u' + v'$$\n- $$(ku)' = ku'$$ (k constante)\n- $$(uv)' = u'v + uv'$$\n- $$\\left(\\frac{u}{v}\\right)' = \\frac{u'v - uv'}{v^2}$$ (si v ≠ 0)\n- $$(u \\circ v)' = v' \\times (u' \\circ v)$$\n\n## 7. Dérivée et variations\n\nSoit f dérivable sur I :\n- Si f'(x) ≥ 0 sur I, alors f est croissante sur I\n- Si f'(x) ≤ 0 sur I, alors f est décroissante sur I\n- Si f'(x) = 0 sur I, alors f est constante sur I\n\n## 8. Extremums\n\nSi f admet un extremum local en a et si f est dérivable en a, alors f'(a) = 0.\n\nApplication à la situation ivoirienne* :\nPour $$b(x) = -x^2 + 40x - 225$$ :\n1) Dérivée : $$b'(x) = -2x + 40$$\n2) b'(x) = 0 ⇔ -2x + 40 = 0 ⇔ x = 20\n3) Signe de b' : positive avant 20, négative après\n4) Donc maximum en x = 20 tonnes\n5) Bénéfice maximal : $$b(20) = -400 + 800 - 225 = 175$$ milliers de FCFA