Étude et représentation graphique d'une fonction

Le cours

1. Parité d'une fonction\n\nUne fonction f définie sur D est :\n- Paire si : $$\\forall x \\in D, f(-x) = f(x)$$\n Sa courbe est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.\n- Impaire si : $$\\forall x \\in D, f(-x) = -f(x)$$\n Sa courbe est symétrique par rapport à l'origine.\n\nExemple : $$f(x) = x^2$$ est paire, $$g(x) = x^3$$ est impaire.\n\n## 2. Périodicité\n\nUne fonction f est périodique de période T (T > 0) si :\n$$\\forall x \\in D, f(x + T) = f(x)$$\nLa plus petite période positive est appelée période.\n\nExemple ivoirien : Les prix des produits agricoles sur les marchés de Korhogo présentent souvent des variations périodiques (hebdomadaires, saisonnières).\n\n## 3. Axes et centres de symétrie\n\n- La droite d'équation x = a est axe de symétrie si :\n $$\\forall h, f(a + h) = f(a - h)$$\n\n- Le point Ω(a, b) est centre de symétrie si :\n $$\\forall h, f(a + h) + f(a - h) = 2b$$\n\n## 4. Asymptotes\n\n| Type | Condition | Équation |\n|------|-----------|----------|\n| Verticale | $$\\lim_{x \\to a} f(x) = \\pm \\infty$$ | x = a |\n| Horizontale | $$\\lim_{x \\to \\pm \\infty} f(x) = b$$ | y = b |\n| Oblique | $$\\lim_{x \\to \\pm \\infty} [f(x) - (ax + b)] = 0$$ | y = ax + b |\n\nPour l'asymptote oblique :\n$$a = \\lim_{x \\to \\pm \\infty} \\frac{f(x)}{x}$$\n$$b = \\lim_{x \\to \\pm \\infty} [f(x) - ax]$$\n\n## 5. Étude complète d'une fonction polynôme (degré ≤ 3)\n\nPour $$f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$$ :\n1. Domaine de définition : $$\\mathbb{R}$$\n2. Dérivée : $$f'(x) = 3ax^2 + 2bx + c$$\n3. Signe de f'(x) via discriminant\n4. Tableau de variations\n5. Limites aux bornes\n6. Points particuliers\n7. Représentation graphique\n\n## 6. Fonction homographique\n\nForme : $$f(x) = \\frac{ax + b}{cx + d}$$ avec c ≠ 0 et ad - bc ≠ 0\n\nÉtude :\n1. Domaine : $$x \\neq -d/c$$\n2. Écriture canonique : $$f(x) = \\alpha + \\frac{\\beta}{cx + d}$$\n3. Dérivée : $$f'(x) = \\frac{ad - bc}{(cx + d)^2}$$\n4. Variations selon le signe de (ad - bc)\n5. Asymptotes : verticale en x = -d/c, horizontale y = a/c\n\n## 7. Fonctions circulaires\n\n| Fonction | Domaine | Période | Parité | Variations |\n|----------|---------|---------|--------|------------|\n| $$\\sin x$$ | $$\\mathbb{R}$$ | $$2\\pi$$ | Impaire | Voir cercle trigo |\n| $$\\cos x$$ | $$\\mathbb{R}$$ | $$2\\pi$$ | Paire | Voir cercle trigo |\n| $$\\tan x$$ | $$x \\neq \\pi/2 + k\\pi$$ | $$\\pi$$ | Impaire | Croissante sur chaque intervalle |\n\n## 8. Applications à la situation\n\nPour B(x) = 40x - (0.004x² + 30x + 1000) = -0.004x² + 10x - 1000 :\n1. Domaine : x ≥ 0 (nombre de galettes)\n2. Dérivée : B'(x) = -0.008x + 10\n3. B'(x) = 0 ⇔ x = 1250\n4. Tableau : B croît sur [0, 1250], décroît après\n5. Maximum en x = 1250 galettes\n6. Bénéfice maximal : B(1250) = -0.004×(1250)² + 10×1250 - 1000 = 5250 FCFA\n7. Bénéfice positif ⇔ B(x) ≥ 0 : résoudre -0.004x² + 10x - 1000 ≥ 0