Dénombrement

Le cours

1. Cardinal d'un ensemble fini\n\nLe cardinal d'un ensemble fini E, noté card(E) ou |E|, est son nombre d'éléments.\n\n## 2. Principes de base\n\n1. Principe additif : Si A ∩ B = ∅, alors card(A ∪ B) = card(A) + card(B)\n\n2. Principe multiplicatif : card(A × B) = card(A) × card(B)\n Généralisation : card(A₁ × A₂ × ... × A_p) = card(A₁) × ... × card(A_p)\n\n3. Complémentaire : card(Ā) = card(E) - card(A)\n\n## 3. p-listes (ou p-uplets)\n\nUne p-liste d'éléments pris dans un ensemble à n éléments :\n- Avec répétition : $$n^p$$ possibilités\n- Sans répétition : $$A_n^p = \\frac{n!}{(n-p)!}$$ (arrangements)\n\nExemple : Codes bancaires de 4 chiffres : 10^4 = 10 000 possibilités (de 0000 à 9999).\n\n## 4. Arrangements\n\nNombre de façons de choisir p éléments parmi n, en tenant compte de l'ordre, sans répétition :\n$$A_n^p = n \\times (n-1) \\times ... \\times (n-p+1) = \\frac{n!}{(n-p)!}$$\n\nExemple : Classement des 3 premiers d'une course avec 8 participants : $$A_8^3 = 8×7×6 = 336$$.\n\n## 5. Permutations\n\nCas particulier d'arrangements avec p = n :\n$$P_n = A_n^n = n!$$\nNombre de façons d'ordonner n éléments distincts.\n\nExemple : Anagrams du mot "CI" : 2! = 2 (CI, IC)\n\n## 6. Combinaisons\n\nNombre de façons de choisir p éléments parmi n, sans tenir compte de l'ordre :\n$$C_n^p = \\frac{A_n^p}{p!} = \\frac{n!}{p!(n-p)!}$$\n\nPropriétés :\n- $$C_n^p = C_n^{n-p}$$\n- $$C_n^0 = C_n^n = 1$$\n- Formule de Pascal : $$C_n^p = C_{n-1}^{p-1} + C_{n-1}^p$$\n\n## 7. Applications concrètes\n\n1. Loterie : Au Loto Ivoirien, choisir 5 numéros parmi 45 : $$C_{45}^5$$ combinaisons.\n\n2. Comités : Former un comité de 3 personnes parmi 10 : $$C_{10}^3 = 120$$.\n\n3. Main de cartes : Nombre de mains de 5 cartes dans un jeu de 52 : $$C_{52}^5 ≈ 2.6$$ millions.\n\n## 8. Méthodes alternatives\n\n- Arbres de choix : Visuels pour petits dénombrements\n- Tableaux à double entrée : Pour produits cartésiens\n- Diagrammes : Venn, Carroll\n\nRésolution de la situation bancaire :\nCode à 4 chiffres : chaque chiffre a 10 possibilités (0-9).\nAvec répétition autorisée : $$10 × 10 × 10 × 10 = 10^4 = 10 000$$ codes possibles.\nSi la banque interdit les codes avec 4 chiffres identiques (0000, 1111, ..., 9999), il reste 10 000 - 10 = 9 990 codes.