Composées de transformations du plan

Le cours

1. Translation de vecteur $$\\vec{u}$$\n\nNotation : $$t_{\\vec{u}}$$.\nPropriété : $$t_{\\vec{u}} \\circ t_{\\vec{v}} = t_{\\vec{u}+\\vec{v}}$$ (commutatif).\n\n## 2. Symétrie orthogonale d'axe Δ\n\nNotation : $$s_Δ$$.\nPropriétés : $$s_Δ \\circ s_Δ = Id$$ (involutive).\n\n## 3. Homothétie de centre Ω et de rapport k (k ≠ 0)\n\nNotation : $$h_{(Ω, k)}$$.\nPropriétés : $$h_{(Ω,k)} \\circ h_{(Ω,k')} = h_{(Ω, kk')}$$.\n\n## 4. Rotation de centre Ω et d'angle θ\n\nNotation : $$r_{(Ω, θ)}$$.\nPropriétés : $$r_{(Ω,θ)} \\circ r_{(Ω,θ')} = r_{(Ω, θ+θ')}$$.\n\n## 5. Composées de translations\n\n$$t_{\\vec{u}} \\circ t_{\\vec{v}} = t_{\\vec{u}+\\vec{v}} = t_{\\vec{v}} \\circ t_{\\vec{u}}$$.\n\nLa composée de deux translations est une translation.\n\n## 6. Composées de symétries orthogonales\n\n1. Axes parallèles : $$s_{Δ} \\circ s_{Δ'} = t_{2\\vec{v}}$$ où $$\\vec{v}$$ est le vecteur perpendiculaire aux axes de Δ à Δ'.\n\n2. Axes sécants : $$s_{Δ} \\circ s_{Δ'} = r_{(Ω, 2θ)}$$ où Ω est l'intersection et θ l'angle orienté (Δ', Δ).\n\n## 7. Composées d'homothéties\n\n1. Même centre Ω : $$h_{(Ω,k)} \\circ h_{(Ω,k')} = h_{(Ω, kk')}$$.\n\n2. Centres différents :\n - Si kk' = 1 : translation\n - Si kk' ≠ 1 : homothétie de rapport kk' dont le centre est aligné avec Ω et Ω'\n\n## 8. Composées de rotations\n\n1. Même centre Ω : $$r_{(Ω,θ)} \\circ r_{(Ω,θ')} = r_{(Ω, θ+θ')}$$.\n\n2. Centres différents :\n - Si θ+θ' = 0 mod 2π : translation\n - Sinon : rotation d'angle θ+θ'\n\nApplication à l'architecture : Les motifs répétés peuvent être obtenus par translations successives (frises) ou par rotations autour d'un centre (rosaces).