Barycentre

Le cours

1. Point pondéré\n\nUn point pondéré est un couple (A, α) où A est un point et α un réel (coefficient ou masse).\n\n## 2. Barycentre de deux points\n\nSoient (A, α) et (B, β) avec α + β ≠ 0.\nIl existe un unique point G tel que :\n$$\\alpha\\overrightarrow{GA} + \\beta\\overrightarrow{GB} = \\vec{0}$$\n\nG est le barycentre de {(A, α), (B, β)}.\nNotation : G = bar{(A, α), (B, β)}.\n\n## 3. Propriété de réduction\n\nPour tout point M du plan :\n$$\\alpha\\overrightarrow{MA} + \\beta\\overrightarrow{MB} = (\\alpha + \\beta)\\overrightarrow{MG}$$\n\nConséquence : G = bar{(A, α), (B, β)} ⇔ $$\\overrightarrow{AG} = \\frac{\\beta}{\\alpha+\\beta}\\overrightarrow{AB}$$\n\n## 4. Barycentre de trois points\n\nSoient (A, α), (B, β), (C, γ) avec α + β + γ ≠ 0.\nIl existe un unique point G tel que :\n$$\\alpha\\overrightarrow{GA} + \\beta\\overrightarrow{GB} + \\gamma\\overrightarrow{GC} = \\vec{0}$$\n\nPour tout M : $$\\alpha\\overrightarrow{MA} + \\beta\\overrightarrow{MB} + \\gamma\\overrightarrow{MC} = (\\alpha+\\beta+\\gamma)\\overrightarrow{MG}$$\n\n## 5. Coordonnées du barycentre\n\nDans un repère, si A(x_A, y_A), B(x_B, y_B), C(x_C, y_C), alors G(x_G, y_G) avec :\n$$x_G = \\frac{\\alpha x_A + \\beta x_B + \\gamma x_C}{\\alpha + \\beta + \\gamma}$$\n$$y_G = \\frac{\\alpha y_A + \\beta y_B + \\gamma y_C}{\\alpha + \\beta + \\gamma}$$\n\n## 6. Isobarycentre\n\nSi tous les coefficients sont égaux, G est l'isobarycentre :\n- Pour 2 points : milieu du segment\n- Pour 3 points : centre de gravité du triangle\n\n## 7. Lignes de niveau\n\n1. Ensemble {M / $$\\alpha MA^2 + \\beta MB^2 = k$$} :\n En utilisant la réduction : $$(\\alpha+\\beta)MG^2 + \\alpha GA^2 + \\beta GB^2 = k$$\n Selon les valeurs, cercle, point ou vide.\n\n2. Ensemble {M / $$\\frac{MA}{MB} = k$$} (k > 0) :\n Si k = 1 : médiatrice de [AB]\n Si k ≠ 1 : cercle d'Apollonius\n\n## 8. Application à la suspension\n\nAvec A(0,0), B(6,0), C(3,4) (triangle quelconque) et masses 2, 3, 4 :\n$$x_G = \\frac{2×0 + 3×6 + 4×3}{2+3+4} = \\frac{0+18+12}{9} = \\frac{30}{9} = \\frac{10}{3}$$\n$$y_G = \\frac{2×0 + 3×0 + 4×4}{9} = \\frac{16}{9}$$\n\nG(10/3, 16/9) ≈ (3.33, 1.78).\nVérification : $$2\\overrightarrow{GA} + 3\\overrightarrow{GB} + 4\\overrightarrow{GC}$$\n= 2(0-10/3, 0-16/9) + 3(6-10/3, 0-16/9) + 4(3-10/3, 4-16/9)\n= (-20/3, -32/9) + (18-10, -48/9) + (12-40/3, 16-64/9)\n= (-20/3, -32/9) + (8, -16/3) + (-4/3, 80/9)\n= ( -20/3 + 8 - 4/3 , -32/9 - 48/9 + 80/9 )\n= ( -24/3 + 8 , 0 ) = (-8 + 8, 0) = (0,0) ✓