Angles orientés et trigonométrie

Le cours

1. Mesure d'un angle orienté\n\nL'angle orienté $$(\\vec{u}, \\vec{v})$$ a pour mesures :\n$$\\theta + 2k\\pi$$, k ∈ ℤ, où θ est une mesure en radians.\n\nLa mesure principale est celle dans ]-π, π].\n\n## 2. Propriétés des mesures\n\n1. $$(\\vec{u}, \\vec{v}) = -(\\vec{v}, \\vec{u})$$\n2. $$(k\\vec{u}, \\vec{v}) = \\begin{cases} (\\vec{u}, \\vec{v}) & \\text{si } k>0 \\\\ (\\vec{u}, \\vec{v})+\\pi & \\text{si } k<0 \\end{cases}$$\n3. Relation de Chasles : $$(\\vec{u}, \\vec{v}) + (\\vec{v}, \\vec{w}) = (\\vec{u}, \\vec{w})$$\n\n## 3. Cercle trigonométrique\n\nCercle de rayon 1, centre O.\nÀ tout réel x, on associe le point M tel que $$(\\overrightarrow{OI}, \\overrightarrow{OM}) = x$$.\n\nCos x = abscisse de M\nSin x = ordonnée de M\nTan x = sin x / cos x (si cos x ≠ 0)\n\n## 4. Formules fondamentales\n\n1. $$\\cos^2 x + \\sin^2 x = 1$$\n2. $$\\tan x = \\frac{\\sin x}{\\cos x}$$, $$1+\\tan^2 x = \\frac{1}{\\cos^2 x}$$\n\n## 5. Formules d'addition\n\n$$\\cos(a+b) = \\cos a \\cos b - \\sin a \\sin b$$\n$$\\cos(a-b) = \\cos a \\cos b + \\sin a \\sin b$$\n$$\\sin(a+b) = \\sin a \\cos b + \\cos a \\sin b$$\n$$\\sin(a-b) = \\sin a \\cos b - \\cos a \\sin b$$\n\n## 6. Formules de duplication\n\n$$\\cos 2a = \\cos^2 a - \\sin^2 a = 2\\cos^2 a - 1 = 1 - 2\\sin^2 a$$\n$$\\sin 2a = 2 \\sin a \\cos a$$\n$$\\tan 2a = \\frac{2\\tan a}{1-\\tan^2 a}$$\n\n## 7. Équations trigonométriques\n\n1. $$\\cos x = \\cos a$$ ⇔ $$x = a + 2k\\pi$$ ou $$x = -a + 2k\\pi$$\n2. $$\\sin x = \\sin a$$ ⇔ $$x = a + 2k\\pi$$ ou $$x = \\pi - a + 2k\\pi$$\n3. $$\\tan x = \\tan a$$ ⇔ $$x = a + k\\pi$$\n\n## 8. Application à la kermesse\n\nConversion degrés → radians :\n- 45° = π/4 rad\n- 60° = π/3 rad\n- 90° = π/2 rad\n- 75° = 5π/12 rad\n\nLes instructions deviennent :\n- E : angle = -π/4 (à gauche = sens négatif)\n- F : angle = π/3\n- G : angle = -π/2\n- H : angle = -5π/12\n\nPlus précis que "à gauche/de droite" qui dépend de l'orientation.