Montages dérivateur et intégrateur

Le cours

1. Introduction\n\nLes montages dérivateur et intégrateur sont des applications fondamentales de l'amplificateur opérationnel (AOP) en électronique analogique. Ils permettent de réaliser des opérations mathématiques (dérivation et intégration) sur des signaux électriques, ce qui est essentiel dans le traitement du signal, la régulation et l'instrumentation.\n\nDescription du schéma 1: Symbole de l'AOP idéal. Représenter le triangle avec les entrées inverseuse (-) et non inverseuse (+), la sortie Vs, l'alimentation symétrique +Vcc et -Vcc. Ajouter les caractéristiques : gain infini, impédance d'entrée infinie, impédance de sortie nulle, bande passante infinie, tension de décalage nulle.\n\n## 2. Rappel sur l'AOP idéal\n\nPour un AOP idéal en régime linéaire :\n1. Les courants d'entrée sont nuls : i⁺ = i⁻ = 0\n2. Les tensions d'entrée sont égales : v⁺ = v⁻ (contre-réaction négative)\n\nDans le montage amplificateur inverseur de base :\n$$v_s = -\\frac{R_2}{R_1} \\cdot v_e$$\n\n## 3. Montage dérivateur\n\n### 3.1 Structure du circuit\nLe montage dérivateur remplace la résistance R₁ de l'amplificateur inverseur par un condensateur C. On a donc :\n- Entrée : v_e via condensateur C\n- Contre-réaction : résistance R\n- Entrée non inverseuse à la masse\n\nDescription du schéma 2: Schéma du montage dérivateur. Montrer l'AOP, le condensateur C entre v_e et l'entrée inverseuse, la résistance R entre sortie et entrée inverseuse, l'entrée non inverseuse à la masse. Indiquer v_e (entrée) et v_s (sortie).\n\n### 3.2 Relation entrée-sortie\nLe courant dans le condensateur est :\n$$i_c = C \\cdot \\frac{dv_c}{dt}$$\nAvec v_c = v_e - v⁻ = v_e (car v⁻ = 0, masse virtuelle)\nDonc : $$i_c = C \\cdot \\frac{dv_e}{dt}$$\n\nCe même courant traverse R (car i⁻ = 0) :\n$$v_s = -R \\cdot i_c = -R \\cdot C \\cdot \\frac{dv_e}{dt}$$\n\nLa tension de sortie est proportionnelle à la dérivée de la tension d'entrée :\n$$\\boxed{v_s(t) = -RC \\cdot \\frac{dv_e(t)}{dt}}$$\n\n### 3.3 Réponse à différents signaux\n- Pour v_e constante : v_s = 0\n- Pour v_e triangulaire : v_s carrée\n- Pour v_e sinusoïdale : v_s cosinusoïdale déphasée de -π/2\n\n## 4. Montage intégrateur\n\n### 4.1 Structure du circuit\nLe montage intégrateur est l'inverse : résistance R en entrée, condensateur C en contre-réaction.\n\nDescription du schéma 3: Schéma du montage intégrateur. Montrer l'AOP, la résistance R entre v_e et l'entrée inverseuse, le condensateur C entre sortie et entrée inverseuse, l'entrée non inverseuse à la masse. Indiquer v_e et v_s.\n\n### 4.2 Relation entrée-sortie\nLe courant dans R est :\n$$i_R = \\frac{v_e - v⁻}{R} = \\frac{v_e}{R}$$\n\nCe courant charge le condensateur C :\n$$i_C = C \\cdot \\frac{dv_C}{dt} = C \\cdot \\frac{d(v_s - v⁻)}{dt} = C \\cdot \\frac{dv_s}{dt}$$\n\nAvec i_R = i_C (car i⁻ = 0) :\n$$\\frac{v_e}{R} = C \\cdot \\frac{dv_s}{dt}$$\n\nEn intégrant :\n$$v_s(t) = -\\frac{1}{RC} \\int_0^t v_e(\\tau) \\, d\\tau + v_s(0)$$\n\nLa tension de sortie est proportionnelle à l'intégrale de la tension d'entrée :\n$$\\boxed{v_s(t) = -\\frac{1}{RC} \\int v_e(t) \\, dt}$$\n\n## 5. Interprétation des oscillogrammes\n\nDérivateur :\n- Entrée triangle → Sortie rectangle\n- Entrée sinus → Sortie cosinus (déphasage -90°)\n- Entrée échelon → Sortie impulsion (pic théorique infini, limité par la bande passante)\n\nIntégrateur :\n- Entrée rectangle → Sortie triangle\n- Entrée sinus → Sortie cosinus (déphasage +90°)\n- Entrée constante → Sortie rampe linéaire\n\n## 6. Limitations pratiques\n\n### 6.1 Problèmes du dérivateur idéal\n1. Amplification du bruit haute fréquence\n2. Instabilité potentielle\n3. Réponse impulsive aux discontinuités\n\nSolution : ajouter une résistance en série avec C pour limiter le gain haute fréquence.\n\n### 6.2 Problèmes de l'intégrateur idéal\n1. Dérive due aux courants de polarisation\n2. Saturation par accumulation de charge\n3. Réponse limitée en fréquence basse\n\nSolution : ajouter une résistance en parallèle avec C pour établir un gain DC fini.\n\n## 7. Applications en Côte d'Ivoire\n\n1. Centrale hydroélectrique de Soubré : Les intégrateurs calculent l'énergie produite (intégrale de la puissance).\n\n2. Systèmes de surveillance sismique : Les dérivateurs détectent les variations brutales (dérivées) des signaux des accéléromètres.\n\n3. Contrôle de processus industriels (usine de ciment de Yopougon) : Dérivateurs pour la régulation de vitesse, intégrateurs pour le calcul de débits totaux.\n\n4. Traitement des signaux biomédicaux : Analyse d'ECG à l'Institut de Cardiologie d'Abidjan.\n\n## 8. Exercices de synthèse\n\nPour un dérivateur avec R = 10 kΩ et C = 100 nF :\n1. Donner l'expression de v_s(t) si v_e(t) = 2·sin(1000πt)\n2. Calculer l'amplitude de v_s\n\nPour un intégrateur avec R = 1 MΩ et C = 1 μF :\n3. Donner v_s(t) si v_e est un échelon de 1 V à t=0, avec v_s(0)=0\n4. Au bout de combien de temps v_s atteint-elle -10 V ?