Mouvement d’une particule chargée dans un champ magnétique uniforme

Le cours

1. Introduction\n\nLorsqu'une particule chargée (électron, proton, ion) se déplace dans un espace où règne un champ magnétique, elle subit une force magnétique appelée force de Lorentz. Cette force ne travaille pas, mais modifie la direction du mouvement. Son étude est cruciale pour comprendre le fonctionnement de nombreux appareils, depuis les téléviseurs anciens jusqu'aux accélérateurs de particules modernes.\n\n## 2. La force de Lorentz\n\nPour une particule de charge \\( q \\), animée d'une vitesse \\( \\vec{v} \\) et plongée dans un champ magnétique \\( \\vec{B} \\), la force de Lorentz \\( \\vec{F} \\) s'exprime par :\n$$ \\vec{F} = q \\, \\vec{v} \\times \\vec{B} $$\n\nDescription du schéma 1 : Règle des trois doigts de la main droite pour \\( q > 0 \\)\nReprésenter une main droite vue de côté. Le pouce (\\( \\vec{v} \\)) pointe vers la droite. L'index (\\( \\vec{B} \\)) pointe vers le haut. Le majeur (\\( \\vec{F} \\) pour \\( q > 0 \\)) doit alors pointer perpendiculairement vers l'avant (hors de la page). Annoter chaque doigt avec le vecteur correspondant. Pour \\( q < 0 \\), la force est opposée.\n\nCaractéristiques de \\( \\vec{F} \\) :\n- Direction : Perpendiculaire au plan formé par \\( \\vec{v} \\) et \\( \\vec{B} \\).\n- Sens : Donné par la règle des trois doigts de la main droite pour \\( q > 0 \\). Inversé pour \\( q < 0 \\).\n- Valeur : \\( F = |q| \\, v \\, B \\, \\sin \\alpha \\), où \\( \\alpha \\) est l'angle entre \\( \\vec{v} \\) et \\( \\vec{B} \\).\n\n## 3. Mouvement dans un champ uniforme (cas \\( \\vec{B} \\perp \\vec{v} \\))\n\nSi \\( \\vec{B} \\) est uniforme et perpendiculaire à la vitesse initiale \\( \\vec{v_0} \\), la force de Lorentz est constamment perpendiculaire à la vitesse. Elle joue le rôle d'une force centripète, provoquant un mouvement circulaire uniforme.\n\nDescription du schéma 2 : Trajectoire circulaire d'une particule positive\nDessiner un champ magnétique \\( \\vec{B} \\) uniforme dirigé vers le haut de la page (flèches verticales). Représenter une particule positive entrant par la gauche avec une vitesse \\( \\vec{v_0} \\) horizontale. Tracer une trajectoire circulaire (un arc de cercle) qui s'incurve vers le bas. Placer le vecteur force de Lorentz \\( \\vec{F} \\) au point d'entrée, pointant vers le bas (vers le centre de courbure). Annoter le rayon \\( R \\).\n\nEn appliquant la relation fondamentale de la dynamique \\( \\sum \\vec{F} = m \\vec{a} \\) et sachant que l'accélération est centripète (\\( a = v^2 / R \\)), on obtient :\n$$ |q| v B = m \\frac{v^2}{R} $$\nD'où l'expression du rayon de la trajectoire :\n$$ R = \\frac{m v}{|q| B} $$\n\n## 4. Applications importantes\n\n### 4.1. Déflexion magnétique\nLa mesure de la déviation d'un faisceau d'électrons dans un tube permet de déterminer le rapport \\( e/m \\).\n\n### 4.2. Spectromètre de masse\nUtilisé pour séparer des ions de masses différentes. Un exemple local : l'analyse de la composition isotopique de l'or extrait à Ity ou d'échantillons environnementaux.\n$$ R = \\frac{\\sqrt{2 m \\Delta V_{acc}}}{q B} $$\n\n### 4.3. Cyclotron\nAccélérateur de particules où un champ magnétique courbe la trajectoire et un champ électrique alternatif accélère la particule à chaque demi-tour.\n\n### 4.4. Filtre de Wien (ou filtre de vitesses)\nPermet de sélectionner des particules ayant une vitesse précise en utilisant des champs électrique et magnétique croisés. Si \\( \\vec{E} \\) et \\( \\vec{B} \\) sont perpendiculaires, les particules non déviées vérifient :\n$$ v = \\frac{E}{B} $$\n\n## 5. Effet d'un angle quelconque entre \\( \\vec{v} \\) et \\( \\vec{B} \\)\n\nSi la vitesse a une composante \\( v_{\\parallel} \\) parallèle à \\( \\vec{B} \\) et une composante \\( v_{\\perp} \\) perpendiculaire, le mouvement résultant est une hélice. Le pas de l'hélice dépend de \\( v_{\\parallel} \\).\n\nDescription du schéma 3 : Mouvement hélicoïdal\nReprésenter un champ \\( \\vec{B} \\) uniforme dirigé selon un axe horizontal. Dessiner une trajectoire en forme de ressort (hélice) s'enroulant autour d'une ligne de champ. Montrer la composante \\( v_{\\parallel} \\) le long de l'axe et la composante \\( v_{\\perp} \\) perpendiculaire. Annoter le rayon \\( R \\) de l'hélice et son pas \\( p \\).\n\n## 6. Applications en Côte d'Ivoire - Traitement des eaux par rayonnement UV\n\nDans les stations de traitement comme celle de la SODECI à Bouaké, on utilise parfois des lampes UV dont le rayonnement est produit par impact d'électrons accélérés et focalisés par des champs magnétiques. La maîtrise du mouvement des électrons permet d'optimiser l'efficacité de la désinfection.