MOUVEMENTS DANS LES CHAMPS GRAVITATIONNEL ET ÉLECTROSTATIQUE UNIFORMES

Le cours

1. Introduction aux champs uniformes\n\nUn champ est une grandeur physique qui a une valeur en chaque point de l'espace. Lorsque cette valeur est la même en tout point, on parle de champ uniforme. En Côte d'Ivoire, la compréhension des champs uniformes est essentielle dans divers domaines : l'étude des trajectoires des ballons de football au Stade Félix Houphouët-Boigny, le fonctionnement des écrans de télévision, ou encore les systèmes de déflecteurs dans les industries.\n\n## 2. Champ de pesanteur uniforme\n\n### 2.1 Définition et caractéristiques\n\nLe champ de pesanteur terrestre $\\vec{g}$ est approximativement uniforme à l'échelle d'une expérience de laboratoire. Il est :\n- Vertical\n- Dirigé vers le bas (vers le centre de la Terre)\n- D'intensité $g \\approx 9,8 \\text{ m/s}²$ à la surface de la Terre\n- Uniforme sur quelques kilomètres\n\n### 2.2 Représentation\n\nLe vecteur champ de pesanteur se représente par une flèche verticale dirigée vers le bas. Dans un repère (O, x, y) avec Oy vertical ascendant :\n\n$$\\vec{g} = -g \\vec{j}$$\n\nDescription du schéma 1 : Représentation du champ de pesanteur uniforme\nLe schéma doit montrer un repère orthonormé (O, x, y) avec l'axe Oy vertical ascendant. Plusieurs flèches identiques, verticales, dirigées vers le bas, doivent être réparties régulièrement dans l'espace représenté. Chaque flèche doit être étiquetée $\\vec{g}$. Une échelle indiquant que chaque flèche représente 9,8 m/s² doit être mentionnée.\n\n### 2.3 Force de pesanteur\n\nSur un corps de masse m placé dans un champ de pesanteur $\\vec{g}$, s'exerce la force de pesanteur :\n\n$$\\vec{P} = m \\vec{g}$$\n\n## 3. Mouvement d'un projectile dans le champ de pesanteur uniforme\n\n### 3.1 Hypothèses\n\nOn considère un projectile de masse m lancé avec une vitesse initiale $\\vec{v_0}$ faisant un angle α avec l'horizontale. On néglige les frottements de l'air.\n\n### 3.2 Accélération\n\nD'après le théorème du centre d'inertie : $\\vec{a} = \\vec{g}$\n\nSoit en coordonnées :\n- $a_x = 0$\n- $a_y = -g$\n\n### 3.3 Équations horaires\n\nEn intégrant l'accélération, avec conditions initiales : $x_0 = 0$, $y_0 = 0$, $v_{0x} = v_0 \\cos \\alpha$, $v_{0y} = v_0 \\sin \\alpha$\n\n$$v_x(t) = v_0 \\cos \\alpha$$\n$$v_y(t) = v_0 \\sin \\alpha - g t$$\n\n$$x(t) = (v_0 \\cos \\alpha) t$$\n$$y(t) = (v_0 \\sin \\alpha) t - \\frac{1}{2} g t²$$\n\n### 3.4 Équation de la trajectoire\n\nEn éliminant t entre x(t) et y(t) :\n\n$$y(x) = x \\tan \\alpha - \\frac{g}{2 v_0² \\cos² \\alpha} x²$$\n\nC'est l'équation d'une parabole.\n\nDescription du schéma 2 : Trajectoire parabolique d'un projectile\nLe schéma doit montrer une parabole représentant la trajectoire d'un projectile lancé depuis l'origine O. La vitesse initiale $\\vec{v_0}$ doit faire un angle α avec l'horizontale. Les composantes $v_{0x}$ et $v_{0y}$ doivent être représentées. Les grandeurs caractéristiques doivent être indiquées : portée D (distance horizontale maximale), flèche H (altitude maximale). Le vecteur $\\vec{g}$ doit être représenté en plusieurs points de la trajectoire.\n\n### 3.5 Grandeurs caractéristiques\n\nPortée D : distance horizontale maximale\n$$D = \\frac{v_0² \\sin(2\\alpha)}{g}$$\n\nFlèche H : altitude maximale\n$$H = \\frac{v_0² \\sin² \\alpha}{2g}$$\n\nTemps de vol T : durée totale du mouvement\n$$T = \\frac{2v_0 \\sin \\alpha}{g}$$\n\nAngle optimal : pour une vitesse initiale donnée, la portée est maximale pour α = 45°\n$$D_{\\text{max}} = \\frac{v_0²}{g}$$\n\n## 4. Champ électrostatique uniforme\n\n### 4.1 Définition et caractéristiques\n\nUn champ électrostatique $\\vec{E}$ est uniforme si sa valeur, sa direction et son sens sont les mêmes en tout point. Il est créé par :\n- Deux plaques planes parallèles de surfaces S, portant des charges +Q et -Q, séparées par une distance d\n- Avec $E = \\frac{U}{d}$ où U est la tension entre les plaques\n\n### 4.2 Représentation\n\nLe vecteur champ électrostatique se représente par une flèche dirigée de la plaque positive vers la plaque négative.\n\n### 4.3 Force électrostatique\n\nSur une particule de charge q placée dans un champ électrostatique $\\vec{E}$, s'exerce la force électrostatique :\n\n$$\\vec{F}_e = q \\vec{E}$$\n\nDescription du schéma 3 : Champ électrostatique uniforme entre deux plaques\nLe schéma doit montrer deux plaques métalliques planes, parallèles, verticales. La plaque de gauche doit être chargée positivement (+), celle de droite négativement (-). Entre les plaques, des flèches identiques, horizontales, dirigées de la plaque positive vers la plaque négative, doivent être réparties régulièrement. Chaque flèche doit être étiquetée $\\vec{E}$. La distance d entre les plaques et la tension U doivent être indiquées. L'équation $E = U/d$ doit être écrite.\n\n## 5. Mouvement d'une particule chargée dans un champ électrostatique uniforme\n\n### 5.1 Cas d'un électron ($q = -e$)\n\nPour un électron de masse $m_e$ et de charge $-e$ :\n\n$$\\vec{F}_e = -e \\vec{E}$$\n\n### 5.2 Accélération\n\nD'après le théorème du centre d'inertie : $\\vec{a} = \\frac{\\vec{F}_e}{m_e} = -\\frac{e}{m_e} \\vec{E}$\n\nSoit en coordonnées, avec $\\vec{E}$ selon Ox :\n- $a_x = -\\frac{e}{m_e} E$\n- $a_y = 0$\n\n### 5.3 Équations horaires\n\nPour un électron lancé avec une vitesse initiale $\\vec{v_0}$ faisant un angle α avec l'horizontale :\n\n$$v_x(t) = v_0 \\cos \\alpha - \\frac{eE}{m_e} t$$\n$$v_y(t) = v_0 \\sin \\alpha$$\n\n$$x(t) = (v_0 \\cos \\alpha) t - \\frac{1}{2} \\frac{eE}{m_e} t²$$\n$$y(t) = (v_0 \\sin \\alpha) t$$\n\n### 5.4 Équation de la trajectoire\n\n$$y(x) = x \\tan \\alpha - \\frac{eE}{2m_e v_0² \\cos² \\alpha} x²$$\n\nC'est également une parabole.\n\n## 6. Applications et déflexions\n\n### 6.1 Déviation électrostatique dans un tube cathodique\n\nDans un téléviseur ou un oscilloscope, un faisceau d'électrons est dévié par un champ électrostatique entre deux plaques.\n\nDéviation sur l'écran : pour une longueur L des plaques et une distance D à l'écran :\n\n$$Y = \\frac{eE L D}{m_e v_0²}$$\n\nDéviation angulaire : angle de déviation du faisceau\n$$\\theta = \\arctan\\left(\\frac{eE L}{m_e v_0²}\\right)$$\n\n### 6.2 Comparaison des deux types de mouvements\n\n| Caractéristique | Champ de pesanteur | Champ électrostatique |\n|----------------|-------------------|----------------------|\n| Force | $\\vec{P} = m\\vec{g}$ | $\\vec{F}_e = q\\vec{E}$ |\n| Accélération | $\\vec{a} = \\vec{g}$ | $\\vec{a} = \\frac{q}{m}\\vec{E}$ |\n| Trajectoire | Parabole | Parabole |\n| Indépendance | Masse n'intervient pas dans la trajectoire | Rapport q/m intervient |\n\n## 7. Applications contextuelles en Côte d'Ivoire\n\n### 7.1 Sports et analyse de trajectoires\n\n- Basketball : optimisation des tirs à 3 points\n- Football : étude des tirs de penalty et des corners\n- Athlétisme : analyse des lancers (javelot, poids, disque)\n\n### 7.2 Technologies éducatives\n\n- Fonctionnement des anciens téléviseurs à tube cathodique\n- Oscilloscopes dans les laboratoires de physique\n- Écrans de visualisation\n\n### 7.3 Déflecteurs industriels\n\n- Tri des particules dans les industries agroalimentaires\n- Systèmes de déviation pour le contrôle qualité\n- Séparateurs électrostatiques\n\n### 7.4 Instrumentation scientifique\n\n- Spectromètres de masse\n- Accélérateurs de particules\n- Microscopes électroniques\n\n## 8. Méthodologie de résolution\n\n### 8.1 Protocole pour les problèmes de projectiles\n\n1. Faire un schéma avec le repère et les conditions initiales\n2. Écrire les composantes de l'accélération ($a_x = 0$, $a_y = -g$)\n3. Intégrer pour obtenir les vitesses\n4. Intégrer pour obtenir les positions\n5. Éliminer t pour obtenir l'équation de la trajectoire\n6. Utiliser les conditions particulières (altitude max, portée, etc.)\n7. Résoudre le système d'équations\n\n### 8.2 Protocole pour les problèmes de particules chargées\n\n1. Faire un schéma avec le champ $\\vec{E}$ et la vitesse initiale\n2. Calculer la force électrostatique $\\vec{F}_e = q\\vec{E}$\n3. Appliquer le théorème du centre d'inertie\n4. Écrire les composantes de l'accélération\n5. Intégrer pour obtenir les équations horaires\n6. Déterminer l'équation de la trajectoire\n7. Calculer les grandeurs demandées (déviation, etc.)\n\n### 8.3 Vérifications importantes\n\n- Homogénéité des équations\n- Signes cohérents (selon l'orientation du repère)\n- Unités correctes\n- Résultats physiquement plausibles\n- Cas particuliers (angle de 0° ou 90°)\n\n### 8.4 Pièges courants\n\n- Confondre portée et distance parcourue\n- Oublier que la trajectoire est symétrique seulement si le point de départ et d'arrivée sont à la même altitude\n- Négliger le signe de la charge des particules\n- Confondre déviation angulaire et déviation sur l'écran