Oscillations mécaniques libres

Le cours

1. Introduction aux oscillations mécaniques

Une oscillation est un mouvement de va-et-vient autour d'une position d'équilibre. Les oscillations mécaniques sont omniprésentes dans la vie quotidienne en Côte d'Ivoire : balancement des ponts suspendus, vibrations des moteurs des générateurs électriques, mouvement des pendules, suspensions des véhicules sur les routes parfois cahoteuses. L'étude de ces phénomènes est cruciale pour la conception de structures stables, le confort des transports, et la fiabilité des machines industrielles.

2. Définition d'un oscillateur mécanique

Un oscillateur mécanique est un système physique capable d'effectuer des oscillations autour d'une position d'équilibre stable. Il comprend généralement : - Une masse (élément d'inertie) - Un élément élastique (ressort, fil élastique) ou de rappel (pendule sous pesanteur) - Éventuellement un amortisseur (élément dissipatif)

Exemples : pendule simple, masse accrochée à un ressort, pont oscillant, bâtiment lors d'un séisme.

3. Caractéristiques générales d'un oscillateur mécanique

3.1. Position d'équilibre

Point où la somme des forces est nulle. Pour un système masse-ressort horizontal, c'est la position où le ressort est à sa longueur naturelle.

3.2. Écart à l'équilibre

Grandeur mesurant l'éloignement par rapport à la position d'équilibre, souvent notée x(t).

3.3. Force de rappel

Force qui tend à ramener le système vers sa position d'équilibre. Elle est proportionnelle à l'écart (pour les petites oscillations) et de sens opposé : $\\overrightarrow{F} = -k\\overrightarrow{x}$ (loi de Hooke).

3.4. Types d'oscillations

• Oscillations libres : système laissé à lui-même après écart initial
• Oscillations forcées : système soumis à une force extérieure périodique
• Oscillations amorties : avec dissipation d'énergie
• Oscillations non amorties : sans dissipation (cas idéal)

4. Étude du pendule élastique horizontal non amorti

4.1. Description du système

Masse m glissant sans frottement sur un plan horizontal, reliée à un point fixe par un ressort de raideur k et de longueur à vide l₀.

Description du schéma 1: Pendule élastique horizontal Représenter un plan horizontal. À gauche, un point fixe. Un ressort de raideur k relie ce point à une masse m qui peut glisser sans frottement. Indiquer la position d'équilibre O où le ressort est à sa longueur naturelle l₀. Définir un axe Ox horizontal avec origine en O. Montrer la masse déplacée à une position x > 0. Tracer la force de rappel du ressort $\\overrightarrow{F} = -k\\overrightarrow{x}$ dirigée vers O. Légender : "Position d'équilibre O", "Écart x", "Force de rappel $\\overrightarrow{F} = -kx\\overrightarrow{i}$", "Raideur k", "Masse m".

4.2. Équation différentielle

Appliquons le théorème du centre d'inertie à la masse m :

$\\overrightarrow{F} = m\\overrightarrow{a}$

$-kx\\overrightarrow{i} = m\\frac{d^2x}{dt^2}\\overrightarrow{i}$

$\\frac{d^2x}{dt^2} + \\frac{k}{m}x = 0$

C'est l'équation différentielle du mouvement. On pose $\\omega_0^2 = \\frac{k}{m}$ :

$\\frac{d^2x}{dt^2} + \\omega_0^2 x = 0$

4.3. Solution générale

La solution générale est de la forme :

$x(t) = X_m \\cos(\\omega_0 t + \\varphi)$

ou $x(t) = X_m \\sin(\\omega_0 t + \\varphi')$

Où : - $X_m$ : amplitude maximale (m) - $\\omega_0$ : pulsation propre (rad/s) - $\\varphi$ : phase à l'origine (rad)

5. Caractéristiques du mouvement oscillatoire

5.1. Pulsation propre

$\\omega_0 = \\sqrt{\\frac{k}{m}}$

5.2. Période propre

$T_0 = \\frac{2\\pi}{\\omega_0} = 2\\pi \\sqrt{\\frac{m}{k}}$

5.3. Fréquence propre

$N_0 = \\frac{1}{T_0} = \\frac{\\omega_0}{2\\pi} = \\frac{1}{2\\pi}\\sqrt{\\frac{k}{m}}$

5.4. Amplitude

$X_m$ : valeur maximale de |x(t)|, déterminée par les conditions initiales.

5.5. Phase à l'origine

$\\varphi$ : déterminée par les conditions initiales (position et vitesse à t = 0).

Si à t = 0 : x(0) = x₀ et v(0) = v₀, alors : $x₀ = X_m \\cos\\varphi$ $v₀ = -\\omega_0 X_m \\sin\\varphi$

D'où : $X_m = \\sqrt{x₀^2 + \\frac{v₀^2}{\\omega_0^2}}$ et $\\tan\\varphi = -\\frac{v₀}{\\omega_0 x₀}$

6. Énergie de l'oscillateur harmonique non amorti

6.1. Énergie cinétique

$E_C = \\frac{1}{2}mv^2 = \\frac{1}{2}m\\omega_0^2 X_m^2 \\sin^2(\\omega_0 t + \\varphi)$

6.2. Énergie potentielle élastique

$E_P = \\frac{1}{2}kx^2 = \\frac{1}{2}kX_m^2 \\cos^2(\\omega_0 t + \\varphi)$

Avec $k = m\\omega_0^2$ : $E_P = \\frac{1}{2}m\\omega_0^2 X_m^2 \\cos^2(\\omega_0 t + \\varphi)$

6.3. Énergie mécanique totale

$E_m = E_C + E_P = \\frac{1}{2}m\\omega_0^2 X_m^2 [\\sin^2(\\omega_0 t + \\varphi) + \\cos^2(\\omega_0 t + \\varphi)]$

$E_m = \\frac{1}{2}m\\omega_0^2 X_m^2 = \\frac{1}{2}kX_m^2 = \\text{constante}$

L'énergie mécanique se conserve : elle oscille entre forme cinétique et forme potentielle, mais la somme reste constante.

Description du schéma 2: Énergies d'un oscillateur harmonique Tracer trois courbes en fonction du temps t sur le même graphique : 1. Position x(t) = X_m cos(ω₀t) (cosinusoïde) 2. Énergie cinétique E_C(t) (sinusoïde au carré, maximum quand x = 0) 3. Énergie potentielle E_P(t) (cosinusoïde au carré, maximum quand x = X_m) 4. Énergie totale E_m (droite horizontale) Montrer que E_C et E_P sont en opposition de phase, et que leur somme est constante. Légender : "E_C maximale au passage par la position d'équilibre", "E_P maximale aux extrémités", "E_m = E_C + E_P = constante".

7. Graphes caractéristiques

7.1. Graphe de la position x(t)

$x(t) = X_m \\cos(\\omega_0 t + \\varphi)$ - Courbe cosinusoïdale d'amplitude X_m - Période T₀ - Déphasage initial φ

7.2. Graphe de la vitesse v(t)

$v(t) = \\frac{dx}{dt} = -\\omega_0 X_m \\sin(\\omega_0 t + \\varphi)$ - Courbe sinusoïdale d'amplitude ω₀X_m - En avance de π/2 sur x(t) : v est maximale quand x = 0

7.3. Graphe de l'accélération a(t)

$a(t) = \\frac{d^2x}{dt^2} = -\\omega_0^2 X_m \\cos(\\omega_0 t + \\varphi)$ $a(t) = -\\omega_0^2 x(t)$ - En opposition de phase avec x(t) - Amplitude ω₀²X_m

Description du schéma 3: Graphes x(t), v(t) et a(t) pour un oscillateur harmonique Représenter trois graphiques alignés verticalement avec le même axe des temps. En haut : x(t) = X_m cos(ω₀t) (phase nulle). Au milieu : v(t) = -ω₀X_m sin(ω₀t) = ω₀X_m cos(ω₀t + π/2). En bas : a(t) = -ω₀²X_m cos(ω₀t) = ω₀²X_m cos(ω₀t + π). Montrer le déphasage : v est en avance de π/2 sur x, a est en opposition de phase avec x. Indiquer les amplitudes : X_m, ω₀X_m, ω₀²X_m. Légender : "v est maximale quand x = 0", "a est proportionnelle à x mais de signe opposé".

8. Pendule simple (rappel)

Pour un pendule simple de longueur L, pour de petites oscillations (θ < 10°) :

Équation différentielle : $\\frac{d^2\\theta}{dt^2} + \\frac{g}{L}\\theta = 0$

Période propre : $T_0 = 2\\pi \\sqrt{\\frac{L}{g}}$

Indépendante de la masse et de l'amplitude (pour les petites oscillations).

9. Applications en contexte ivoirien

9.1. Suspensions automobiles

Les ressorts et amortisseurs des véhicules sont conçus pour avoir une fréquence propre adaptée au confort (typiquement 1-2 Hz). Une mauvaise suspension peut entraîner des oscillations dangereuses sur les routes défoncées.

9.2. Construction parasismique

Les bâtiments ont des fréquences propres de vibration. En région sismique, il faut éviter que ces fréquences correspondent à celles des séismes probables (résonance).

9.3. Instruments de musique

Les cordes, membranes, colonnes d'air ont des fréquences propres qui déterminent les notes produites.

9.4. Mesure de g

Avec un pendule simple de longueur connue, on peut mesurer g en mesurant T₀ : $g = \\frac{4\\pi^2 L}{T_0^2}$

10. Exercice guidé : étude d'un système masse-ressort

Dans un laboratoire du Lycée Scientifique de Yamoussoukro, on étudie un oscillateur masse-ressort vertical. Une masse m = 200 g est accrochée à un ressort de raideur k = 20 N/m. On écarte la masse de 5 cm vers le bas par rapport à sa position d'équilibre et on la lâche sans vitesse initiale à t = 0.

1. Calculer la pulsation propre ω₀, la période T₀ et la fréquence N₀.
2. Écrire l'équation différentielle du mouvement.
3. Déterminer l'amplitude X_m et la phase à l'origine φ.
4. Donner l'expression de x(t).
5. Calculer la vitesse maximale de la masse.
6. Calculer l'énergie mécanique du système.
7. Vérifier la conservation de l'énergie.

Solution : 1. $\\omega_0 = \\sqrt{\\frac{k}{m}} = \\sqrt{\\frac{20}{0,2}} = \\sqrt{100} = 10\\ \\text{rad/s}$ $T_0 = \\frac{2\\pi}{\\omega_0} = \\frac{2\\pi}{10} \\approx 0,628\\ \\text{s}$ $N_0 = \\frac{1}{T_0} \\approx 1,59\\ \\text{Hz}$

2. $\\frac{d^2x}{dt^2} + 100x = 0$ (avec x en m, t en s)

3. Conditions initiales : x(0) = 0,05 m, v(0) = 0 $X_m = \\sqrt{x₀^2 + \\frac{v₀^2}{\\omega_0^2}} = x₀ = 0,05\\ \\text{m}$ $\\tan\\varphi = -\\frac{v₀}{\\omega_0 x₀} = 0$ donc φ = 0 ou π Comme x₀ > 0 et cosφ = x₀/X_m > 0, on a φ = 0

4. $x(t) = 0,05 \\cos(10t)$ (m)

5. $v_{\\text{max}} = \\omega_0 X_m = 10 \\times 0,05 = 0,5\\ \\text{m/s}$

6. $E_m = \\frac{1}{2}kX_m^2 = \\frac{1}{2} \\times 20 \\times (0,05)^2 = 0,5 \\times 20 \\times 0,0025 = 0,025\\ \\text{J}$

7. À t = 0 : $E_C = 0$, $E_P = \\frac{1}{2}kx₀^2 = 0,025\\ \\text{J}$, $E_m = 0,025\\ \\text{J}$ À t = T₀/4 : x = 0, v = v_max = 0,5 m/s $E_C = \\frac{1}{2}mv_{\\text{max}}^2 = 0,5 \\times 0,2 \\times 0,25 = 0,025\\ \\text{J}$ $E_P = 0$, $E_m = 0,025\\ \\text{J}$ ✓