Oscillations électriques libres dans un circuit LC

Le cours

1. Introduction aux oscillations électriques

Les oscillations électriques sont des variations périodiques des grandeurs électriques (tension, courant) dans un circuit. Le circuit LC idéal (bobine et condensateur) est l'analogue électrique du système masse-ressort en mécanique. En Côte d'Ivoire, ces principes sont essentiels pour comprendre le fonctionnement des radios, des téléphones mobiles, des systèmes GPS utilisés dans l'agriculture de précision, et des équipements médicaux comme les stimulateurs cardiaques.

2. Circuit LC idéal

2.1. Constitution

• Condensateur de capacité C
• Bobine d'inductance L (résistance nulle)
• Interrupteur pour lancer les oscillations

2.2. Phénomène physique

Initialement, le condensateur est chargé. Quand on ferme le circuit, il se décharge dans la bobine. L'énergie passe de la forme électrostatique (condensateur) à la forme magnétique (bobine), puis retour, indéfiniment.

3. Équation différentielle

3.1. Lois utilisées

• Loi des mailles : u_C + u_L = 0
• Relations constitutives :
• Condensateur : \( i = C \\frac{du_C}{dt} \) ou \( u_C = \\frac{q}{C} \)
• Bobine : \( u_L = L \\frac{di}{dt} \)

3.2. Établissement

Avec \( u_C = \\frac{q}{C} \) et \( i = \\frac{dq}{dt} \) : \( u_L = L \\frac{d^2q}{dt^2} \)

Loi des mailles : \( \\frac{q}{C} + L \\frac{d^2q}{dt^2} = 0 \)

\( \\frac{d^2q}{dt^2} + \\frac{1}{LC} q = 0 \)

3.3. Forme canonique

On pose \( \\omega_0^2 = \\frac{1}{LC} \) : \( \\frac{d^2q}{dt^2} + \\omega_0^2 q = 0 \)

C'est l'équation d'un oscillateur harmonique.

Description du schéma 1: Circuit LC et échanges d'énergie Représenter le circuit LC avec condensateur C et bobine L en série. Montrer 4 états successifs : 1. Condensateur chargé au maximum, bobine sans courant → énergie purement électrostatique 2. Décharge en cours : énergie partagée 3. Condensateur déchargé, courant maximum dans bobine → énergie purement magnétique 4. Recharge en sens inverse Ajouter les graphes q(t) et i(t) sinusoïdaux décalés de π/2. Légender : "Énergie totale constante : \( E = \\frac{q^2}{2C} + \\frac{1}{2}Li^2 \)", "Oscillations sinusoïdales"

4. Solution de l'équation différentielle

4.1. Solution générale

\( q(t) = Q_m \\cos(\\omega_0 t + \\varphi) \) \( i(t) = \\frac{dq}{dt} = -\\omega_0 Q_m \\sin(\\omega_0 t + \\varphi) \)

4.2. Caractéristiques

• Pulsation propre : \( \\omega_0 = \\frac{1}{\\sqrt{LC}} \)
• Période propre : \( T_0 = 2\\pi \\sqrt{LC} \)
• Fréquence propre : \( f_0 = \\frac{1}{2\\pi\\sqrt{LC}} \)
• Amplitude de charge : Q_m
• Phase initiale φ

4.3. Conditions initiales

Si à t=0 : q(0)=Q₀ et i(0)=I₀=0 (condensateur chargé, circuit ouvert) : φ = 0 et Q_m = Q₀ \( q(t) = Q₀ \\cos(\\omega_0 t) \) \( i(t) = -\\omega_0 Q₀ \\sin(\\omega_0 t) \)

5. Énergie dans le circuit LC

5.1. Énergie électrostatique

\( E_e = \\frac{1}{2} C u_C^2 = \\frac{q^2}{2C} \)

5.2. Énergie magnétique

\( E_m = \\frac{1}{2} L i^2 \)

5.3. Énergie totale

\( E = E_e + E_m = \\frac{q^2}{2C} + \\frac{1}{2} L i^2 \)

Avec les expressions de q(t) et i(t) : \( E = \\frac{Q_m^2}{2C} \\cos^2(\\omega_0 t + \\varphi) + \\frac{1}{2} L \\omega_0^2 Q_m^2 \\sin^2(\\omega_0 t + \\varphi) \)

Comme \( \\omega_0^2 = 1/(LC) \), \( L\\omega_0^2 = 1/C \) : \( E = \\frac{Q_m^2}{2C} [\\cos^2(\\omega_0 t + \\varphi) + \\sin^2(\\omega_0 t + \\varphi)] = \\frac{Q_m^2}{2C} = \\text{constante} \)

L'énergie totale se conserve.

6. Analogie mécanique-électrique

6.1. Correspondances

6.2. Périodes

• Mécanique : \( T = 2\\pi \\sqrt{m/k} \)
• Électrique : \( T = 2\\pi \\sqrt{LC} \)

Description du schéma 2: Analogie mécanique-électrique Représenter côte à côte : 1. Système masse-ressort horizontal avec masse m, ressort k 2. Circuit LC avec inductance L, capacité C Indiquer les correspondances : x ↔ q, v ↔ i, m ↔ L, k ↔ 1/C Montrer les équations différentielles similaires. Légender : "Même forme mathématique", "Même comportement oscillatoire", "Énergie totale conservée dans les deux cas"

7. Influence de la résistance (circuit RLC)

7.1. Équation différentielle

Avec résistance R en série : \( L \\frac{d^2q}{dt^2} + R \\frac{dq}{dt} + \\frac{q}{C} = 0 \)

7.2. Régimes

• Si R faible : oscillations amorties
• Si R critique : retour à l'équilibre sans oscillation
• Si R élevé : régime apériodique

7.3. Pseudo-période

Pour faible amortissement : \( T \\approx T_0 = 2\\pi\\sqrt{LC} \)

8. Entretien des oscillations

8.1. Problème de l'amortissement

Dans la réalité, la résistance dissipe l'énergie.

8.2. Montage à résistance négative

Utilise un amplificateur pour compenser les pertes.

8.3. Circuit intégré linéaire

Les AOP peuvent réaliser des résistances négatives.

9. Applications en contexte ivoirien

9.1. Radios et communications

Circuits LC pour sélectionner les fréquences.

9.2. Horloges électroniques

Oscillateurs à quartz (principe similaire).

9.3. Systèmes d'alarme

Générateurs de signaux.

9.4. Instrumentation médicale

Générateurs de signaux pour diagnostics.

10. Exercice guidé : conception d'un circuit oscillant

On veut réaliser un circuit LC oscillant à 1 MHz pour une application radio.

1. Choisir L = 100 μH. Calculer C.
2. Si le condensateur est chargé initialement à 10 V, calculer Q_m.
3. Calculer l'énergie totale.
4. Calculer le courant maximal.
5. La bobine a une résistance de 5 Ω. Estimer le décrément logarithmique.

Solution : 1. \( f_0 = \\frac{1}{2\\pi\\sqrt{LC}} \) \( \\sqrt{LC} = \\frac{1}{2\\pi f_0} = \\frac{1}{2\\pi \\times 10^6} \\approx 1,59\\times10^{-7} \) \( LC = (1,59\\times10^{-7})^2 = 2,53\\times10^{-14} \) \( C = \\frac{2,53\\times10^{-14}}{100\\times10^{-6}} = 2,53\\times10^{-10} \\ \\text{F} = 253 \\ \\text{pF} \)

2. \( Q_m = C U_m = 253\\times10^{-12} \\times 10 = 2,53\\times10^{-9} \\ \\text{C} \)

3. \( E = \\frac{1}{2} C U_m^2 = 0,5 \\times 253\\times10^{-12} \\times 100 = 1,265\\times10^{-8} \\ \\text{J} \)

4. \( I_m = \\omega_0 Q_m = 2\\pi \\times 10^6 \\times 2,53\\times10^{-9} \\approx 0,0159 \\ \\text{A} = 15,9 \\ \\text{mA} \)

5. Pour faible amortissement, le décrément logarithmique est \( \\delta = \\pi R \\sqrt{C/L} \) \( \\delta = \\pi \\times 5 \\times \\sqrt{253\\times10^{-12} / 100\\times10^{-6}} = 5\\pi \\times \\sqrt{2,53\\times10^{-9}} = 5\\pi \\times 5,03\\times10^{-5} \\approx 7,9\\times10^{-4} \) Très faible, les oscillations dureront longtemps.