Mouvements dans les champs g et E uniformes

Le cours

1. Introduction aux champs uniformes

Un champ est une région de l'espace où à chaque point on peut associer une grandeur physique (vectorielle ou scalaire). Un champ uniforme est un champ dont la valeur (norme, direction et sens) est la même en tout point. En Côte d'Ivoire, l'étude des champs uniformes a des applications dans l'optimisation des systèmes d'irrigation agricole, la conception des lignes électriques à haute tension, et le développement d'appareils médicaux comme les écrans de radiographie.

2. Champ de pesanteur uniforme

2.1. Définition

Le champ de pesanteur terrestre $\\overrightarrow{g}$ est approximativement uniforme près de la surface de la Terre pour des distances verticales faibles devant le rayon terrestre. Il est dirigé vers le centre de la Terre, vertical vers le bas, avec une intensité g ≈ 9,8 m/s².

2.2. Force de pesanteur

Sur un corps de masse m placé dans ce champ s'exerce la force de pesanteur : $\\overrightarrow{P} = m\\overrightarrow{g}$

Description du schéma 1: Champ de pesanteur uniforme Représenter une région de l'espace limitée (par exemple un rectangle). En plusieurs points de cette région, tracer des vecteurs $\\overrightarrow{g}$ identiques : même longueur, même direction (verticale vers le bas), même sens. Montrer que ces vecteurs sont parallèles et équipollents. Ajouter un objet de masse m avec la force $\\overrightarrow{P} = m\\overrightarrow{g}$ qui s'exerce sur lui. Légender : "Champ de pesanteur uniforme $\\overrightarrow{g}$", "$\\overrightarrow{g}$ constant en tout point", "Force de pesanteur : $\\overrightarrow{P} = m\\overrightarrow{g}$".

3. Champ électrostatique uniforme

3.1. Définition

Un champ électrostatique uniforme $\\overrightarrow{E}$ est créé entre deux plaques métalliques planes, parallèles, de grandes dimensions, portées à des potentiels différents. Les lignes de champ sont des droites parallèles, perpendiculaires aux plaques.

3.2. Force électrique

Sur une particule de charge q placée dans ce champ s'exerce la force électrique : $\\overrightarrow{F}_e = q\\overrightarrow{E}$

• Si q > 0 : $\\overrightarrow{F}_e$ même sens que $\\overrightarrow{E}$
• Si q < 0 : $\\overrightarrow{F}_e$ sens opposé à $\\overrightarrow{E}$

3.3. Applications pratiques

• Tube cathodique des téléviseurs et oscilloscopes
• Filtres électrostatiques dans l'industrie
• Accélérateurs de particules
• Déviation des gouttelettes dans les atomiseurs agricoles

4. Mouvement d'un projectile dans le champ de pesanteur

4.1. Hypothèses

• Champ $\\overrightarrow{g}$ uniforme, vertical vers le bas
• Projectile ponctuel de masse m
• Vitesse initiale $\\overrightarrow{v}_0$ faisant un angle α avec l'horizontale
• Négligence des frottements de l'air

4.2. Accélération

D'après le théorème du centre d'inertie : $\\overrightarrow{a} = \\overrightarrow{g}$

Composantes : $a_x = 0$, $a_y = -g$

4.3. Équations horaires

En prenant l'origine au point de lancement et t₀ = 0 :

$v_x(t) = v_0 \\cos\\alpha$ (constant)

$v_y(t) = v_0 \\sin\\alpha - gt$

$x(t) = (v_0 \\cos\\alpha)t$

$y(t) = (v_0 \\sin\\alpha)t - \\frac{1}{2}gt^2$

4.4. Équation cartésienne de la trajectoire

En éliminant t entre x(t) et y(t) :

$y(x) = (\\tan\\alpha)x - \\frac{g}{2v_0^2 \\cos^2\\alpha}x^2$

C'est l'équation d'une parabole.

Description du schéma 2: Trajectoire parabolique d'un projectile Représenter une parabole avec son sommet. Indiquer le point de lancement O. Tracer le vecteur vitesse initiale $\\overrightarrow{v}_0$ avec son angle α par rapport à l'horizontale. Montrer la décomposition de $v_0$ en $v_{0x} = v_0\\cos\\alpha$ (constant) et $v_{0y} = v_0\\sin\\alpha$. Indiquer la flèche H (hauteur maximale) et la portée D (distance horizontale maximale). Tracer le vecteur $\\overrightarrow{g}$ vertical vers le bas en plusieurs points de la trajectoire. Légender : "Trajectoire parabolique : $y = x\\tan\\alpha - \\frac{g}{2v_0^2\\cos^2\\alpha}x^2$", "H: flèche", "D: portée".

5. Grandeurs caractéristiques de la trajectoire parabolique

5.1. Flèche H (hauteur maximale)

Au sommet, $v_y = 0$ donc $t_s = \\frac{v_0 \\sin\\alpha}{g}$

$H = y(t_s) = \\frac{v_0^2 \\sin^2\\alpha}{2g}$

5.2. Portée D (distance horizontale maximale)

$y = 0$ pour t = 0 (départ) et t = $\\frac{2v_0 \\sin\\alpha}{g}$ (retour au sol)

$D = x\\left(\\frac{2v_0 \\sin\\alpha}{g}\\right) = \\frac{v_0^2 \\sin(2\\alpha)}{g}$

5.3. Angle pour la portée maximale

$\\sin(2\\alpha)$ maximal quand $2\\alpha = 90^\\circ$ donc $\\alpha = 45^\\circ$

$D_{\\text{max}} = \\frac{v_0^2}{g}$

6. Mouvement d'une particule chargée dans un champ électrostatique uniforme

6.1. Cas général

Une particule de masse m, charge q, vitesse initiale $\\overrightarrow{v}_0$ entrant dans un champ $\\overrightarrow{E}$ uniforme.

Accélération : $\\overrightarrow{a} = \\frac{q}{m}\\overrightarrow{E}$ (constante)

6.2. Déviation électrostatique

Cas important : $\\overrightarrow{v}_0$ perpendiculaire à $\\overrightarrow{E}$

Soit $\\overrightarrow{E} = E\\overrightarrow{j}$ et $\\overrightarrow{v}_0 = v_0\\overrightarrow{i}$

Accélération : $a_x = 0$, $a_y = \\frac{qE}{m}$

Équations horaires : $x(t) = v_0 t$ $y(t) = \\frac{1}{2}\\frac{qE}{m}t^2$ (si y₀ = 0 et $v_{0y} = 0$)

Équation cartésienne : $y(x) = \\frac{qE}{2mv_0^2}x^2$

6.3. Déviation sur une longueur L

Si la particule traverse le champ sur une longueur L (dans la direction x) :

Temps de traversée : $t_L = \\frac{L}{v_0}$

Déviation à la sortie : $y_L = \\frac{qE}{2mv_0^2}L^2$

Angle de déviation : $\\tan\\theta = \\frac{v_y}{v_x} = \\frac{qE}{mv_0^2}L$

7. Applications en contexte ivoirien

7.1. Irrigation par aspersion

Les systèmes d'irrigation des plantations d'hévéa et de palmier à huile utilisent des jets d'eau paraboliques. L'optimisation de la portée et de la répartition de l'eau nécessite le calcul précis des trajectoires.

7.2. Déviation des particules dans les analyseurs

Dans les laboratoires de contrôle qualité des industries minières, on utilise des analyseurs à déviation électrostatique pour séparer les particules selon leur rapport q/m.

7.3. Écrans cathodiques

Bien que remplacés par les écrans LCD, les principes de déviation des électrons sont toujours enseignés pour comprendre les bases de l'électronique.

Description du schéma 3: Déviation d'un électron dans un champ électrique uniforme Représenter deux plaques métalliques parallèles entre lesquelles règne un champ électrique $\\overrightarrow{E}$ uniforme (flèches de la plaque positive vers la plaque négative). Un électron (charge -e) entre par la gauche avec une vitesse horizontale $\\overrightarrow{v}_0$. Tracer sa trajectoire parabolique (concave vers la plaque positive puisque la force $\\overrightarrow{F} = -e\\overrightarrow{E}$ est opposée au champ). Indiquer la longueur L des plaques, la déviation y_L à la sortie, et l'angle de déviation θ. Légender : "Trajectoire : $y = \\frac{eE}{2mv_0^2}x^2$", "Déviation : $y_L = \\frac{eEL^2}{2mv_0^2}$", "Angle : $\\tan\\theta = \\frac{eEL}{mv_0^2}$".

8. Comparaison des deux types de mouvements

9. Exercice guidé : optimisation d'un système d'irrigation

Dans une plantation de cacao à Gagnoa, on installe un système d'irrigation par aspersion. La buse est placée à 1,5 m du sol et projette l'eau avec une vitesse de 15 m/s.

1. Pour un angle de 30°, calculer la portée et la hauteur maximale.
2. Quel angle maximise la portée ?
3. Calculer la portée maximale.
4. Pour atteindre un point situé à 20 m, quel angle faut-il choisir ?

Solution : 1. $H = \\frac{v_0^2\\sin^2\\alpha}{2g} = \\frac{15^2 \\times 0,5^2}{2 \\times 9,8} \\approx 2,87\\ \\text{m}$ (hauteur au-dessus de la buse) Hauteur totale : 1,5 + 2,87 = 4,37 m $D = \\frac{v_0^2\\sin(2\\alpha)}{g} = \\frac{225 \\times \\sin60^\\circ}{9,8} \\approx 19,86\\ \\text{m}$

2. Angle optimal : α = 45°

3. $D_{\\text{max}} = \\frac{v_0^2}{g} = \\frac{225}{9,8} \\approx 22,96\\ \\text{m}$

4. $D = \\frac{v_0^2\\sin(2\\alpha)}{g}$ donc $\\sin(2\\alpha) = \\frac{Dg}{v_0^2} = \\frac{20 \\times 9,8}{225} \\approx 0,871$ $2\\alpha \\approx 60,6^\\circ$ ou $119,4^\\circ$ $\\alpha \\approx 30,3^\\circ$ ou $59,7^\\circ$

10. Importance dans le développement ivoirien

La maîtrise des mouvements dans les champs uniformes est essentielle pour : - L'agriculture moderne (systèmes d'irrigation optimisés) - L'industrie (contrôle de qualité par analyse de particules) - La santé (appareils d'imagerie médicale) - L'énergie (déviation des particules dans certains types de capteurs solaires) - L'éducation (compréhension des phénomènes physiques fondamentaux)