Puissance en courant alternatif

Le cours

1. Puissance instantanée en courant alternatif\n\nPour un dipôle soumis à une tension $u(t) = U_m \\cos(\\omega t)$ et parcouru par un courant $i(t) = I_m \\cos(\\omega t - \\varphi)$ (où $\\varphi$ est le déphasage de $u$ par rapport à $i$), la puissance instantanée $p(t)$ reçue par le dipôle est :\n$$p(t) = u(t) \\, i(t) = U_m I_m \\cos(\\omega t) \\cos(\\omega t - \\varphi)$$\n\nEn utilisant une identité trigonométrique, on peut montrer que :\n$$p(t) = U I \\cos\\varphi \\, [1 + \\cos(2\\omega t)] + U I \\sin\\varphi \\, \\sin(2\\omega t)$$\noù $U = U_m/\\sqrt{2}$ et $I = I_m/\\sqrt{2}$ sont les valeurs efficaces.\n\n## 2. Puissance moyenne (ou puissance active) $P$\n\nLa puissance moyenne $P$ sur une période est la valeur moyenne de $p(t)$ :\n$$P = \\langle p(t) \\rangle = \\frac{1}{T} \\int_0^T p(t) \\, dt$$\n\nEn calculant cette moyenne, le terme en $\\cos(2\\omega t)$ et le terme en $\\sin(2\\omega t)$ ont une moyenne nulle. Il reste :\n$$P = U I \\cos\\varphi$$\n\nC'est la formule fondamentale de la puissance moyenne en régime sinusoïdal.\n\n- $P$ : Puissance active (en watt, W). C'est la puissance réellement transformée en une autre forme d'énergie (thermique, mécanique, lumineuse...). C'est elle qui est facturée.\n- $U I$ : Puissance apparente $S$ (en volt-ampère, VA). C'est la puissance « en apparence », liée aux valeurs efficaces.\n- $\\cos\\varphi$ : Facteur de puissance.\n\n## 3. Puissance moyenne pour des dipôles idéaux\n\n- Résistor pur ($\\varphi = 0$) : $P_R = U I = R I^2 = \\frac{U^2}{R}$. Toute la puissance est dissipée par effet Joule.\n- Bobine parfaite ($\\varphi = +\\frac{\\pi}{2}$) : $P_L = U I \\cos(\\frac{\\pi}{2}) = 0$. Une bobine pure ne consomme pas de puissance active ; elle emmagasine et restitue alternativement de l'énergie (puissance réactive).\n- Condensateur parfait ($\\varphi = -\\frac{\\pi}{2}$) : $P_C = U I \\cos(-\\frac{\\pi}{2}) = 0$. Un condensateur pur ne consomme pas de puissance active non plus.\n\n## 4. Puissance apparente $S$ et puissance réactive $Q$\n\nPuissance apparente : $S = U I$ (en VA). Elle caractérise la « taille » apparente de l'installation du point de vue des contraintes sur les générateurs et les lignes.\n\nPuissance réactive : $Q = U I \\sin\\varphi$ (en volt-ampère réactif, var). Elle correspond à l'énergie alternativement échangée (emmagasinée et restituée) entre la source et les composants réactifs (bobines, condensateurs). Elle ne produit pas de travail utile, mais elle doit être fournie par la source, ce qui engendre des pertes supplémentaires dans les lignes.\n\nRelation entre $P$, $Q$ et $S$ :\n$$S^2 = P^2 + Q^2 \\quad \\text{(triangle des puissances)}$$\nEt $\\cos\\varphi = \\frac{P}{S}$, $\\sin\\varphi = \\frac{Q}{S}$.\n\nDescription du schéma 1 : Triangle des puissances\nReprésenter un triangle rectangle. L'hypoténuse, de longueur $S$, est la puissance apparente. Le côté adjacent à l'angle $\\varphi$, de longueur $P$, est la puissance active. Le côté opposé, de longueur $Q$, est la puissance réactive. L'angle entre $S$ et $P$ est $\\varphi$. Légender : "$S = UI$", "$P = UI\\cos\\varphi$", "$Q = UI\\sin\\varphi$", "$\\cos\\varphi = P/S$".\n\n## 5. Facteur de puissance $\\cos\\varphi$ et son intérêt\n\nLe facteur de puissance est le rapport entre la puissance active $P$ et la puissance apparente $S$ : $\\cos\\varphi = P/S$.\n\nValeurs : $0 \\leq \\cos\\varphi \\leq 1$.\n- $\\cos\\varphi = 1$ : Charge purement résistive (pas de puissance réactive). C'est le cas idéal.\n- $\\cos\\varphi = 0$ : Charge purement réactive (pas de puissance active).\n\nIntérêt d'un $\\cos\\varphi$ proche de 1 :\n1. Pour le distributeur (CIE) : Les pertes par effet Joule dans les lignes de transport et de distribution sont proportionnelles au carré du courant $I$ qui les traverse ($P_{pertes} = R_{ligne} I^2$). Or, pour une puissance active $P$ donnée à fournir au client, le courant $I = \\frac{P}{U \\cos\\varphi}$. Donc, si $\\cos\\varphi$ est faible, le courant $I$ est plus grand pour la même puissance $P$, ce qui augmente les pertes en ligne.\n2. Pour le producteur : Les alternateurs des centrales (hydroélectriques, thermiques) et les transformateurs sont dimensionnés pour une puissance apparente $S$ maximale. Si les clients ont un mauvais $\\cos\\varphi$, ils "consomment" de la puissance réactive qui limite la puissance active disponible sur le réseau sans dépasser la limite en $S$.\n\nAmélioration du facteur de puissance (relèvement de $\\cos\\varphi$) : Pour les installations industrielles avec de nombreux moteurs (inductifs, donc $\\varphi > 0$, $\\cos\\varphi$ faible), on branche en parallèle des batteries de condensateurs. Ces derniers fournissent la puissance réative inductive $Q_C$ négative qui compense la puissance réactive inductive $Q_L$ positive des moteurs. La puissance réactive totale vue par le réseau diminue, donc $\\cos\\varphi$ augmente.\n\n## 6. Transport de l'énergie électrique sous haute tension\n\nProblème : Le transport de l'électricité sur de longues distances (ex : du barrage de Soubré à Abidjan) entraîne des pertes par effet Joule dans les lignes.\n\nSolution : Transporter sous très haute tension (THT).\n\nDémonstration : Soit une ligne de résistance $R$, transportant une puissance active $P$ vers une charge de facteur de puissance $\\cos\\varphi$. Le courant en ligne est $I = \\frac{P}{U \\cos\\varphi}$.\nLes pertes en ligne sont : $P_{pertes} = R I^2 = R \\left( \\frac{P}{U \\cos\\varphi} \\right)^2 = \\frac{R P^2}{U^2 \\cos^2\\varphi}$.\n\nPour une puissance $P$ donnée et un $\\cos\\varphi$ fixé, les pertes sont inversement proportionnelles au carré de la tension de transport $U$.\n$$P_{pertes} \\propto \\frac{1}{U^2}$$\n\nConséquence : En multipliant la tension par 10 (ex: passer de 20 kV à 200 kV), les pertes sont divisées par 100 ! C'est pourquoi on utilise des tensions de 225 kV ou 400 kV pour le transport longue distance. Des transformateurs élèvent la tension à la sortie des centrales et l'abaissent près des zones de consommation.\n\nDescription du schéma 2 : Chaîne de transport de l'électricité\nReprésenter un schéma en trois étapes de gauche à droite. (1) Centrale électrique (barrage ou thermique) produisant une tension moyenne $U_1$ (ex: 20 kV). (2) Transformateur élévateur : flèche vers le haut, sortie à Haute Tension $U_2$ (ex: 225 kV). Lignes à haute tension sur pylônes. (3) Transformateur abaisseur en périphérie de ville : flèche vers le bas, sortie à tension moyenne $U_3$ (ex: 20 kV). Puis nouveaux transformateurs pour la basse tension (230/400 V) pour les clients. Légender : "Transport longue distance sous HT (faibles pertes)", "Distribution locale sous BT".\n\n## 7. Application au contexte ivoirien\n\n- Réseau interconnecté de la CIE : Transport sous 225 kV et 90 kV.\n- Facteur de puissance : Les gros clients industriels (usines, mines) sont incités à maintenir un $\\cos\\varphi$ élevé (souvent >0,9) pour éviter des pénalités financières.\n- Enjeu : Réduire les pertes techniques (actuellement ~12% du total produit) pour améliorer l'efficacité du système électrique.