Mouvement du centre d'inertie d'un solide

Le cours

1. Introduction à la dynamique

La dynamique est la branche de la mécanique qui étudie les causes du mouvement. Contrairement à la cinématique qui se contente de décrire le mouvement, la dynamique explique pourquoi les corps se déplacent d'une certaine manière. Cette discipline est fondamentale pour comprendre le fonctionnement des véhicules sur les routes ivoiriennes, le comportement des machines dans les industries locales, et même les phénomènes météorologiques affectant l'agriculture.

2. Référentiels galiléens

Un référentiel est galiléen si la première loi de Newton (principe d'inertie) y est vérifiée : tout corps isolé (soumis à aucune force ou à des forces qui se compensent) persévère dans son état de repos ou de mouvement rectiligne uniforme.

Exemples de référentiels galiléens : 1. Référentiel terrestre : lié à la surface de la Terre, valable pour des mouvements de courte durée et limités dans l'espace 2. Référentiel géocentrique : origine au centre de la Terre, axes pointant vers des étoiles lointaines 3. Référentiel héliocentrique : origine au centre du Soleil, axes pointant vers des étoiles lointaines

Pour des mouvements à la surface de la Terre, le référentiel terrestre est considéré comme galiléen en première approximation.

3. Centre d'inertie d'un solide

Le centre d'inertie G d'un solide est le point où l'on peut considérer que toute la masse du solide est concentrée pour l'étude de son mouvement de translation. Pour un solide homogène et symétrique, G coïncide avec le centre géométrique.

Description du schéma 1: Position du centre d'inertie pour différents solides Représenter trois solides différents: 1) Une sphère pleine avec son centre G au centre géométrique. 2) Un cylindre homogène avec G au milieu de son axe. 3) Une tige homogène avec G à son milieu. Pour chaque solide, indiquer le point G et préciser "Centre d'inertie". Montrer que pour des solides homogènes symétriques, G est au centre de symétrie.

4. Théorème du centre d'inertie (deuxième loi de Newton)

Dans un référentiel galiléen, la somme vectorielle des forces extérieures appliquées à un solide est égale au produit de la masse du solide par l'accélération de son centre d'inertie :

$\\sum \\overrightarrow{F}_{\\text{ext}} = m \\cdot \\overrightarrow{a}_G$

Où : - $\\sum \\overrightarrow{F}_{\\text{ext}}$ : somme vectorielle de toutes les forces extérieures (en N) - m : masse du solide (en kg) - $\\overrightarrow{a}_G$ : accélération du centre d'inertie (en m/s²)

Cette relation fondamentale permet de relier les causes (forces) aux effets (mouvement).

5. Application du théorème du centre d'inertie

Pour résoudre un problème de dynamique : 1. Définir le système étudié 2. Choisir un référentiel galiléen 3. Faire l'inventaire des forces extérieures appliquées 4. Appliquer le théorème : $\\sum \\overrightarrow{F}_{\\text{ext}} = m\\overrightarrow{a}_G$ 5. Projeter sur les axes du repère 6. Résoudre les équations obtenues

Exemple : Une caisse de bananes glissant sur un plan incliné dans un entrepôt du port d'Abidjan.

6. Théorème de l'énergie cinétique

Dans un référentiel galiléen, la variation d'énergie cinétique d'un solide entre deux positions A et B est égale à la somme des travaux de toutes les forces extérieures appliquées au solide entre ces positions :

$\\Delta E_C = E_{C_B} - E_{C_A} = \\sum W_{AB}(\\overrightarrow{F}_{\\text{ext}})$

Où l'énergie cinétique est donnée par : $E_C = \\frac{1}{2}mv^2$

Ce théorème est particulièrement utile lorsque les forces dérivent d'une énergie potentielle ou quand on ne connaît pas la trajectoire exacte.

7. Relation entre les deux théorèmes

Les théorèmes du centre d'inertie et de l'énergie cinétique sont équivalents. En effet, en multipliant scalairement le théorème du centre d'inertie par un déplacement élémentaire $d\\overrightarrow{OG}$, on obtient :

$\\sum \\overrightarrow{F}_{\\text{ext}} \\cdot d\\overrightarrow{OG} = m\\overrightarrow{a}_G \\cdot d\\overrightarrow{OG}$

Ce qui conduit après intégration au théorème de l'énergie cinétique.

Description du schéma 2: Forces appliquées à un solide sur un plan incliné Représenter un plan incliné faisant un angle α avec l'horizontale. Placer un solide (par exemple un cube) sur le plan. Tracer et nommer toutes les forces: 1) Le poids $\\overrightarrow{P}$ vertical vers le bas. 2) La réaction normale $\\overrightarrow{R}_N$ perpendiculaire au plan. 3) Les frottements $\\overrightarrow{f}$ parallèles au plan, opposés au mouvement. Décomposer le poids en deux composantes: parallèle au plan ($P_x = mg\\sin\\alpha$) et perpendiculaire au plan ($P_y = mg\\cos\\alpha$). Ajouter un repère (Ox) parallèle au plan vers le bas, (Oy) perpendiculaire au plan.

8. Cas particuliers importants

8.1. Solide en chute libre (sans frottement)

Forces : uniquement le poids $\\overrightarrow{P} = m\\overrightarrow{g}$ Théorème du centre d'inertie : $m\\overrightarrow{g} = m\\overrightarrow{a}_G$ donc $\\overrightarrow{a}_G = \\overrightarrow{g}$

8.2. Solide sur un plan horizontal sans frottement

Forces : poids $\\overrightarrow{P}$ et réaction normale $\\overrightarrow{R}_N$ Si le solide est au repos ou en mouvement rectiligne uniforme : $\\overrightarrow{P} + \\overrightarrow{R}_N = \\overrightarrow{0}$

8.3. Solide suspendu par un fil

Forces : poids $\\overrightarrow{P}$ et tension du fil $\\overrightarrow{T}$ À l'équilibre : $\\overrightarrow{P} + \\overrightarrow{T} = \\overrightarrow{0}$ donc $T = mg$

9. Applications pratiques en Côte d'Ivoire

• Calcul de la force de freinage nécessaire pour un camion transportant du cacao
• Dimensionnement des câbles pour les grues dans le port de San-Pédro
• Étude de la stabilité des bâtiments face aux vents
• Analyse des mouvements des engins agricoles dans les plantations

10. Exercice guidé : camion sur une pente

Un camion de masse 5 tonnes transporte du minerai de fer sur la route menant à la mine du Mont Nimba. La route présente une pente de 8%. En négligeant les frottements :

1. Calculer l'angle de la pente : $\\tan\\alpha = 8\\% = 0,08$ donc $\\alpha \\approx 4,57^\\circ$
2. Inventaire des forces : poids $\\overrightarrow{P}$ et réaction normale $\\overrightarrow{R}_N$
3. Théorème du centre d'inertie : $\\overrightarrow{P} + \\overrightarrow{R}_N = m\\overrightarrow{a}$
4. Projection sur l'axe parallèle à la pente : $mg\\sin\\alpha = ma$ donc $a = g\\sin\\alpha$
5. Application numérique : $a = 9,8 \\times \\sin(4,57^\\circ) \\approx 0,78\\ \\text{m/s}^2$

Description du schéma 3: Diagramme des forces pour différents cas pratiques Représenter quatre situations différentes: 1) Un objet en chute libre avec uniquement le poids. 2) Un livre sur une table horizontale avec poids et réaction normale. 3) Une voiture freinant avec poids, réaction normale et force de freinage. 4) Un pendule simple avec poids et tension du fil. Pour chaque cas, tracer proprement toutes les forces avec des flèches proportionnelles et les nommer clairement.