Mouvement d'une particule chargée dans un champ magnétique uniforme

Le cours

1. Introduction à la force de Lorentz

La force de Lorentz est la force exercée sur une particule chargée en mouvement dans un champ électromagnétique. Elle joue un rôle fondamental dans de nombreuses technologies modernes : accélérateurs de particules pour la recherche et la médecine, spectromètres de masse pour l'analyse chimique, tubes cathodiques, et même dans la protection de la Terre contre le vent solaire. En Côte d'Ivoire, comprendre cette force est important pour le développement de l'imagerie médicale, le contrôle qualité dans l'industrie pharmaceutique, et la formation des futurs ingénieurs.

2. Expression de la force de Lorentz

Pour une particule de charge q, se déplaçant avec une vitesse \( \\overrightarrow{v} \) dans un champ magnétique \( \\overrightarrow{B} \), la force magnétique est :

\( \\overrightarrow{F}_m = q \\overrightarrow{v} \\times \\overrightarrow{B} \)

Si un champ électrique \( \\overrightarrow{E} \) est également présent, la force totale (force de Lorentz) est :

\( \\overrightarrow{F}_L = q(\\overrightarrow{E} + \\overrightarrow{v} \\times \\overrightarrow{B}) \)

Dans cette leçon, on considère \( \\overrightarrow{E} = \\overrightarrow{0} \), donc \( \\overrightarrow{F}_L = q \\overrightarrow{v} \\times \\overrightarrow{B} \).

3. Caractéristiques de la force de Lorentz

3.1. Direction

Perpendiculaire au plan formé par \( \\overrightarrow{v} \) et \( \\overrightarrow{B} \).

3.2. Sens

Donné par la règle des trois doigts de la main droite (pour q > 0) : - Pouce : sens de \( \\overrightarrow{v} \) - Index : sens de \( \\overrightarrow{B} \) - Majeur (perpendiculaire) : sens de \( \\overrightarrow{F} \)

Pour q < 0, le sens est opposé (ou utiliser la main gauche).

3.3. Norme

\( F = |q| v B \\sin\\theta \) Où θ est l'angle entre \( \\overrightarrow{v} \) et \( \\overrightarrow{B} \).

Cas particuliers : - Si \( \\overrightarrow{v} \\parallel \\overrightarrow{B} \) (θ = 0° ou 180°) : F = 0 - Si \( \\overrightarrow{v} \\perp \\overrightarrow{B} \) (θ = 90°) : F = |q| v B (maximum)

3.4. Travail

La force magnétique ne travaille jamais car elle est toujours perpendiculaire à la vitesse : \( \\overrightarrow{F} \\cdot \\overrightarrow{v} = 0 \). Conséquence : elle ne modifie pas l'énergie cinétique, seulement la direction de la vitesse.

Description du schéma 1: Force de Lorentz sur une charge positive Représenter un repère 3D. Tracer un vecteur champ magnétique \( \\overrightarrow{B} \) horizontal vers la droite. Tracer un vecteur vitesse \( \\overrightarrow{v} \) vertical vers le haut. La force \( \\overrightarrow{F} \) doit être perpendiculaire au plan formé par \( \\overrightarrow{v} \) et \( \\overrightarrow{B} \). Utiliser la règle de la main droite : \( \\overrightarrow{v} \) (pouce vers le haut), \( \\overrightarrow{B} \) (index vers la droite), alors \( \\overrightarrow{F} \) (majeur) sort de la page (vers l'observateur). Indiquer avec un point dans un cercle \( (\\odot) \) pour un vecteur qui sort. Légender : "\( \\overrightarrow{F} = q\\overrightarrow{v} \\times \\overrightarrow{B} \) (q > 0)", "Règle de la main droite", "\( \\overrightarrow{F} \perp \\overrightarrow{v} \) et \( \\overrightarrow{F} \perp \\overrightarrow{B} \)".

4. Mouvement d'une particule dans un champ magnétique uniforme

4.1. Cas général

Le mouvement est complexe, mais on peut montrer que la composante de la vitesse parallèle à \( \\overrightarrow{B} \) reste constante, tandis que la composante perpendiculaire tourne.

4.2. Cas particulier : \( \\overrightarrow{v} \\perp \\overrightarrow{B} \) à l'instant initial

• La force est centripète : toujours perpendiculaire à \( \\overrightarrow{v} \) et dirigée vers le centre de courbure
• Norme constante : F = |q| v B (car v constant en norme, pas en direction)
• Mouvement circulaire uniforme dans un plan perpendiculaire à \( \\overrightarrow{B} \)

4.3. Rayon de la trajectoire

De \( F = |q| v B = m \\frac{v^2}{R} \) (force centripète) :

\( R = \\frac{m v}{|q| B} \)

4.4. Période de révolution

\( T = \\frac{2\\pi R}{v} = \\frac{2\\pi m}{|q| B} \)

Remarque : T ne dépend pas de v ni de R ! (pour un rapport q/m donné)

4.5. Fréquence cyclotron

\( f = \\frac{1}{T} = \\frac{|q| B}{2\\pi m} \)

Description du schéma 2: Trajectoire circulaire d'une particule chargée dans un champ magnétique uniforme Représenter un champ magnétique \( \\overrightarrow{B} \) uniforme sortant de la page (points dans des cercles). Une particule positive entre par la gauche avec une vitesse \( \\overrightarrow{v} \) perpendiculaire à \( \\overrightarrow{B} \). Tracer la trajectoire circulaire dans le sens antihoraire (pour une charge positive, selon la règle de la main droite). En plusieurs points de la trajectoire, dessiner la vitesse \( \\overrightarrow{v} \) tangente au cercle, et la force \( \\overrightarrow{F} \) radiale vers le centre. Montrer que F est toujours perpendiculaire à v. Indiquer le rayon R et le centre O. Légender : "\( \\overrightarrow{B} \) sort de la page", "Trajectoire circulaire de rayon \( R = \\frac{mv}{qB} \)", "\( \\overrightarrow{F} \) toujours dirigée vers le centre", "Mouvement circulaire uniforme".

5. Déviation magnétique (déflexion)

5.1. Principe

Quand une particule traverse une région de champ magnétique de largeur L (perpendiculairement aux bords), elle décrit un arc de cercle.

5.2. Angle de déviation δ

Pour une déviation faible (L << R) : \( \\delta \\approx \\frac{L}{R} = \\frac{|q| B L}{m v} \) (en radians)

5.3. Déviation à la sortie d'un champ

Si la particule sort du champ après avoir parcouru une longueur L dans la direction perpendiculaire au champ, la déviation y est : \( y = R - \\sqrt{R^2 - L^2} \)

Pour L << R : \( y \\approx \\frac{L^2}{2R} = \\frac{|q| B L^2}{2 m v} \)

6. Spectromètre de masse

6.1. Principe

Instrument qui sépare des ions selon leur rapport masse/charge (m/q). Deux étapes : 1. Accélération par une tension U : \( \\frac{1}{2} m v^2 = q U \) 2. Déviation dans un champ magnétique : \( R = \\frac{m v}{|q| B} \)

6.2. Relation fondamentale

En éliminant v entre les deux équations : \( \\frac{m}{q} = \\frac{B^2 R^2}{2 U} \)

Pour des ions de même charge (même q), le rayon est proportionnel à \( \\sqrt{m} \).

7. Cyclotron

7.1. Principe

Accélérateur de particules qui utilise un champ magnétique pour maintenir les particules sur une trajectoire circulaire et un champ électrique alternatif pour les accélérer.

7.2. Fréquence du champ électrique

Doit être égale à la fréquence cyclotron : \( f = \\frac{|q| B}{2\\pi m} \)

7.3. Énergie maximale

\( E_k = \\frac{q^2 B^2 R_{\\text{max}}^2}{2 m} \) Où \( R_{\\text{max}} \) est le rayon maximal de la trajectoire.

8. Filtre de Wien (filtre de vitesses)

8.1. Principe

Dispositif qui sélectionne les particules ayant une vitesse spécifique. Utilise des champs électrique et magnétique croisés et perpendiculaires à la vitesse.

8.2. Condition de non-déviation

Pour que la particule ne soit pas déviée, la force électrique doit compenser exactement la force magnétique : \( q E = q v B \) D'où : \( v = \\frac{E}{B} \)

Seules les particules avec cette vitesse précise traversent sans être déviées.

Description du schéma 3: Spectromètre de masse Représenter un schéma en coupe d'un spectromètre de masse. Montrer : 1. Source d'ions (à gauche) 2. Fentes de collimation 3. Plaques accélératrices avec tension U (les ions y gagnent une énergie qU) 4. Chambre à vide avec champ magnétique \( \\overrightarrow{B} \) perpendiculaire au plan (sortant) 5. Trajectoires semi-circulaires de différents rayons R₁, R₂, R₃ pour des ions de masses différentes 6. Détecteur (plaque photographique ou collecteur) sur la paroi droite Indiquer : "\( \\frac{1}{2}mv^2 = qU \)", "\( R = \\frac{mv}{qB} \)", "\( \\frac{m}{q} = \\frac{B^2 R^2}{2U} \)". Légender : "Source d'ions", "Accélération par U", "Déviation par B", "Rayon proportionnel à \( \\sqrt{m} \) pour même q".

9. Applications en contexte ivoirien

9.1. Contrôle qualité des médicaments

Les spectromètres de masse pourraient être utilisés pour vérifier la composition des médicaments produits localement ou importés, détectant les contrefaçons.

9.2. Recherche en physique des matériaux

Analyse de la composition des minerais (fer, or, diamant) pour optimiser leur exploitation.

9.3. Médecine

Cyclotrons pour produire des isotopes radioactifs utilisés en imagerie médicale (TEP scan).

9.4. Environnement

Analyse de la qualité de l'air et de l'eau par spectrométrie de masse.

10. Exercice guidé : spectromètre de masse pour l'analyse d'isotopes

Dans un laboratoire de recherche ivoirien, on analyse un échantillon de cuivre naturel contenant deux isotopes : ⁽⁶³⁾Cu (masse 62,93 u) et ⁽⁶⁵⁾Cu (masse 64,93 u). On utilise un spectromètre de masse avec B = 0,50 T et U = 1000 V. Les ions sont simplement chargés (q = +e = 1,6×10⁻¹⁹ C).

1 u = 1,66×10⁻²⁷ kg.

1. Calculer la vitesse des ions ⁽⁶³⁾Cu après accélération.
2. Calculer le rayon de leur trajectoire dans le champ magnétique.
3. Calculer le rayon pour les ions ⁽⁶⁵⁾Cu.
4. Calculer la distance entre les points d'impact des deux isotopes sur le détecteur (supposé à 180° de la source).
5. Calculer la fréquence cyclotron pour chaque isotope.

Solution : 1. Vitesse des ions ⁽⁶³⁾Cu : \( m_{63} = 62,93 \\times 1,66\\times10^{-27} = 1,045\\times10^{-25} \\ \\text{kg} \) \( \\frac{1}{2} m v^2 = eU \) \( v = \\sqrt{\\frac{2eU}{m}} = \\sqrt{\\frac{2 \\times 1,6\\times10^{-19} \\times 1000}{1,045\\times10^{-25}}} \) \( v = \\sqrt{\\frac{3,2\\times10^{-16}}{1,045\\times10^{-25}}} = \\sqrt{3,062\\times10^9} \\approx 5,533\\times10^4 \\ \\text{m/s} \)

2. Rayon pour ⁽⁶³⁾Cu : \( R_{63} = \\frac{m_{63} v}{eB} = \\frac{1,045\\times10^{-25} \\times 5,533\\times10^4}{1,6\\times10^{-19} \\times 0,50} \) \( R_{63} = \\frac{5,782\\times10^{-21}}{8,0\\times10^{-20}} = 0,07228 \\ \\text{m} = 7,23 \\ \\text{cm} \)

3. Rayon pour ⁽⁶⁵⁾Cu : \( m_{65} = 64,93 \\times 1,66\\times10^{-27} = 1,078\\times10^{-25} \\ \\text{kg} \) \( v_{65} = \\sqrt{\\frac{2eU}{m_{65}}} = \\sqrt{\\frac{3,2\\times10^{-16}}{1,078\\times10^{-25}}} = \\sqrt{2,968\\times10^9} \\approx 5,449\\times10^4 \\ \\text{m/s} \) \( R_{65} = \\frac{m_{65} v_{65}}{eB} = \\frac{1,078\\times10^{-25} \\times 5,449\\times10^4}{8,0\\times10^{-20}} = \\frac{5,873\\times10^{-21}}{8,0\\times10^{-20}} = 0,07341 \\ \\text{m} = 7,34 \\ \\text{cm} \)

4. Distance entre impacts : Les ions font un demi-cercle (180°), donc la distance sur le détecteur est 2 × différence des rayons : \( \\Delta d = 2(R_{65} - R_{63}) = 2(0,07341 - 0,07228) = 2 \\times 0,00113 = 0,00226 \\ \\text{m} = 2,26 \\ \\text{mm} \)

5. Fréquence cyclotron : \( f = \\frac{eB}{2\\pi m} \) Pour ⁽⁶³⁾Cu : \( f_{63} = \\frac{1,6\\times10^{-19} \\times 0,50}{2\\pi \\times 1,045\\times10^{-25}} = \\frac{8,0\\times10^{-20}}{6,566\\times10^{-25}} \\approx 1,218\\times10^5 \\ \\text{Hz} = 121,8 \\ \\text{kHz} \) Pour ⁽⁶⁵⁾Cu : \( f_{65} = \\frac{8,0\\times10^{-20}}{2\\pi \\times 1,078\\times10^{-25}} = \\frac{8,0\\times10^{-20}}{6,774\\times10^{-25}} \\approx 1,181\\times10^5 \\ \\text{Hz} = 118,1 \\ \\text{kHz} \)