Montages dérivateur et intégrateur

Le cours

1. Introduction aux amplificateurs opérationnels

L'amplificateur opérationnel (AOP ou AO) est un composant électronique fondamental utilisé dans de nombreux circuits analogiques. En Côte d'Ivoire, il trouve des applications dans les systèmes de régulation des centrales électriques, les instruments de mesure dans les laboratoires de contrôle qualité, et les équipements médicaux. Sa capacité à réaliser des opérations mathématiques en fait un élément clé de l'électronique analogique moderne.

2. Amplificateur opérationnel idéal

2.1. Symbole et brochages

Symbole : triangle avec deux entrées (+ et -) et une sortie - Entrée non-inverseuse : V⁺ (ou E⁺) - Entrée inverseuse : V⁻ (ou E⁻) - Sortie : V_s (ou S) - Alimentation : +Vcc et -Vcc (souvent non représentées sur les schémas)

2.2. Caractéristiques idéales

1. Gain différentiel infini : A_d → ∞
2. Impédance d'entrée infinie : Z_e → ∞
3. Impédance de sortie nulle : Z_s → 0
4. Bande passante infinie
5. Tension de décalage nulle
6. Courants de polarisation nuls

2.3. Conséquences du gain infini

En régime linéaire (avec contre-réaction) : - La tension différentielle ε = V⁺ - V⁻ ≈ 0 - Les courants d'entrée I⁺ ≈ I⁻ ≈ 0

Ces deux propriétés simplifient considérablement l'analyse des circuits à AOP.

Description du schéma 1: Symbole et caractéristiques de l'AOP idéal Représenter le symbole triangulaire de l'AOP avec : - Entrée non-inverseuse (+) à gauche - Entrée inverseuse (-) à gauche - Sortie à droite - Alimentations +Vcc et -Vcc en haut et bas Indiquer les tensions : V⁺, V⁻, V_s, et la tension différentielle ε = V⁺ - V⁻ Légender : "AOP idéal : ε ≈ 0, I⁺ ≈ I⁻ ≈ 0", "Gain A_d → ∞", "Z_e → ∞, Z_s → 0"

3. Montage dérivateur

3.1. Principe

Le montage dérivateur produit une tension de sortie proportionnelle à la dérivée de la tension d'entrée.

3.2. Schéma

• Entrée : V_e via un condensateur C
• Rétroaction : résistance R entre sortie et entrée inverseuse
• Entrée non-inverseuse à la masse

3.3. Relation entrée-sortie

En utilisant les propriétés de l'AOP idéal : \( i_C = i_R \) \( C \\frac{dV_e}{dt} = -\\frac{V_s}{R} \) \( V_s = -RC \\frac{dV_e}{dt} \)

La tension de sortie est proportionnelle à la dérivée de la tension d'entrée.

3.4. Oscillogrammes typiques

• Si V_e est une rampe : V_s constante
• Si V_e est sinusoïdale : V_s décalée de -π/2

Description du schéma 2: Montage dérivateur et ses oscillogrammes Représenter le circuit dérivateur : V_e → C → entrée (-) ; sortie → R → entrée (-) ; entrée (+) à la masse. En dessous, tracer deux oscillogrammes superposés : - V_e(t) : signal triangulaire - V_s(t) : signal carré (dérivée du triangulaire) Montrer que les discontinuités de pente de V_e donnent des sauts de V_s. Légender : "\( V_s = -RC \\frac{dV_e}{dt} \)", "Sortie proportionnelle à la dérivée de l'entrée"

4. Montage intégrateur

4.1. Principe

Le montage intégrateur produit une tension de sortie proportionnelle à l'intégrale de la tension d'entrée.

4.2. Schéma

• Entrée : V_e via une résistance R
• Rétroaction : condensateur C entre sortie et entrée inverseuse
• Entrée non-inverseuse à la masse

4.3. Relation entrée-sortie

\( i_R = i_C \) \( \\frac{V_e}{R} = -C \\frac{dV_s}{dt} \) \( \\frac{dV_s}{dt} = -\\frac{1}{RC} V_e \) \( V_s(t) = V_s(0) - \\frac{1}{RC} \\int_0^t V_e(\\tau) d\\tau \)

4.4. Oscillogrammes typiques

• Si V_e est constante : V_s rampe linéaire
• Si V_e est carrée : V_s triangulaire

5. Comparaison des deux montages

6. Limitations pratiques

6.1. Problèmes du dérivateur réel

• Amplification du bruit (dérivation amplifie les hautes fréquences)
• Instabilité potentielle
• Solution : ajouter une petite résistance en série avec C

6.2. Problèmes de l'intégrateur réel

• Dérive due aux courants de fuite
• Saturation par accumulation d'erreurs
• Solution : résistance en parallèle avec C

7. Applications en contexte ivoirien

7.1. Contrôle de processus industriels

Dans les usines de transformation de cacao, les intégrateurs calculent les quantités totales produites.

7.2. Systèmes de régulation

Les dérivateurs anticipent les variations dans les systèmes de contrôle des centrales.

7.3. Instrumentation médicale

Calcul de débits sanguins, analyse de signaux biologiques.

7.4. Énergie renouvelable

Suivi de la production énergétique cumulée.

8. Exercice guidé : analyse de circuits

Un montage intégrateur a R = 10 kΩ et C = 100 nF. L'entrée est un signal carré de ±2 V à 1 kHz.

1. Calculer la constante de temps RC.
2. Tracer l'allure de V_s(t) si V_s(0) = 0.
3. Calculer la pente des segments de la sortie.
4. Quelle amplitude maximale atteint V_s ?
5. Proposer une modification pour éviter la saturation.

Solution : 1. RC = 10×10³ × 100×10⁻⁹ = 1×10⁻³ s = 1 ms 2. Pour un signal carré à 1 kHz, la demi-période est 0,5 ms. Pendant une demi-période, V_e = +2 V, donc V_s décroît linéairement (car signe négatif dans la formule). Pendant l'autre demi-période, V_e = -2 V, donc V_s croît linéairement. Forme triangulaire. 3. Pente = -V_e/(RC) = -2/0,001 = -2000 V/s pendant la première demi-période. Pendant la deuxième : +2000 V/s. 4. Après 0,5 ms, variation = pente × temps = -2000 × 0,0005 = -1 V. Amplitude crête à crête = 2 V. 5. Pour éviter la saturation : ajouter une résistance en parallèle avec C (par exemple 1 MΩ) pour éviter l'accumulation de charges dues aux courants de fuite.